Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 13
Sabe-se que é contínua em e que . Mostre que existe tal que para todo
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que existe um tal que para todo pertencente ao domínio da função, tenhamos:
Além disso, ele nos diz que a função é contínua em e que . Isso significa que a função está definida em e que existe um limite igual ao valor da função nesse ponto, que é .
Dessa forma, considerando esse ponto da função , vamos usar a definição de função contínua para nos ajudar. Essa definição nos diz que para todo dado, existe (dependendo de ), tal que, para todo
Então, vamos comparar essa definição com os dados que o enunciado nos deu e verificar se o resultado é o mesmo.
Vamos lá!
Passo 2
No nosso caso, como é contínua em , a definição de continuidade nos diz que para todo positivo, existe um positivo de modo que para qualquer contido no domínio de , se satisfaz a afirmação:
Como a afirmação é verdadeira para qualquer valor de , então no caso específico de tomarmos temos:
Logo, existirá tal que:
Como queríamos demonstrar.
Valeu, galera. Até a próxima! 😉