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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 6a

a) int (1)/((x + 1) * (x - 1)) d x

Passo 1

Quando tivermos um polinômio fatorado no denominador, é interessante usar frações parciais!

I = int (1)/((x + 1) * (x - 1)) d x

O nome pode ser complicado, mas a ideia é simples! Vamos quebrar o denominador em duas partes:

(1)/((x + 1) * (x - 1)) = (A)/(x + 1) + (B)/(x - 1)

Sacou?!

Passo 2

Agora vamos mexer com o lado direito:

(A)/(x + 1) + (B)/(x + 1) = (A)/(x + 1) * (x - 1)/(x - 1) + (B)/(x - 1) * (x + 1)/(x + 1)

Fazendo as distributivas:

(A x - A + B x + B)/((x + 1) * (x - 1)) = ((A + B) x + (B - A))/((x + 1) * (x - 1))

Assim:

(1)/((x + 1) * (x - 1)) = ((A + B) x + (B - A))/((x + 1) * (x - 1))

Agora é só comparar os coeficientes do numerador:

0 * x + 1 = (A + B) x + ( B - A )

{[[A + B = 0 ( i )],[B - A = 1 ( i i )]])

De ( i ) :

A = - B

Substituindo em ( i i ) :

B - (- B) = 1 -> 2 * B = 1

Logo,

B = (1)/(2) e A = - (1)/(2)

Passo 3

Agora vamos resolver a integral!

Nossa integral era assim:

I = int (1)/((x + 1) * (x - 1)) d x

E vai ficar assim:

I = int (- (1)/(2))/(x + 1) d x + int ((1)/(2))/(x - 1) d x = - (1)/(2) * int (1)/(x + 1) d x + (1)/(2) * int (1)/(x - 1) d x

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

I = - (1)/(2) * ln |x + 1| + (1)/(2) * ln |x - 1| + c

Resposta

- (1)/(2) * ln |x + 1| + (1)/(2) * ln |x - 1| + c

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