Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.7 - Ex. 55
São dadas uma função e um intervalo fechado . Determine se o teorema do valor intermediário se aplica para o valor de dado. Se o teorema for aplicável, ache um número tal que . Caso contrário, explique porquê. Faça um esboço da curva e da reta .
Passo 1
Essa é uma questão para treinarmos a aplicação do teorema do valor intermediário (TVI). Para que o teorema seja aplicável a função deve ser contínua no intervalo fechado . Se essa hipótese for satisfeita, então para todo entre e existirá um tal que .
Devemos então verificar se é contínua e se está entre e . Caso essas duas condições sejam satisfeitas, devemos procurar tal que .
Como é definida por partes, vamos ver se ela é contínua em que é o ponto de “colagem”. Para isso, vamos tomar os limites laterais:
Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe e, portanto, é descontínua nesse ponto. Assim, o teorema do valor intermediário não vale nesse caso!
Passo 2
Por outro lado, não porque o TVI não vale que podemos afirmar que não existe tal que . Note que no intervalo , podemos fazer
Portanto, neste caso existe tal que , mesmo com o TVI não valendo.
Passo 3
O gráfico de nesse intervalo e da reta :
Resposta
O TVI não é aplicável mas existe tal que .