Enunciado

f x = ln ⁡ x + 2

  1. Quais são o domínio e a imagem de f ?
  2. Qual é a intersecção com o eixo x do gráfico de f ?
  3. Esboce o gráfico de f

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos dá a seguinte função:

f x = ln ⁡ x + 2

Sabendo disso, a questão nos faz três perguntinhas:

  1. Quais são o domínio e a imagem de f ?
  2. Qual é a intersecção com o eixo x do gráfico de f ?
  3. Esboce o gráfico de f

A cada passo abaixo, a gente vai entendendo melhor o que cada letrinha pede, certinho??

Então bora junto!! 😉

Passo 2

Seguinte.. na letra a) a questão pede o domínio e a imagem da função.

Vamos entender cada um desses dois conceitos:

Domínio: O conjunto de todos os valores para os quais a função está definida (aqui a gente vê se a função tem alguma restrição que faça com que ela deixe de ser real).

Imagem: O conjunto de todos os valores que a função pode assumir como resultado.

O domínio é dado por D = x ∈ I R     x ≥ 0 } = ( 0 , ∞ ) , visto que não existe ln ⁡   de número negativo.

E a imagem é dada por I M = I R = ( - ∞ , ∞ ) .

Passo 3

Na letra b) a questão quer a intersecção com o eixo x do gráfico de f .

Quando f intercepta com o eixo x , temos que y = 0 .

Assim, podemos escrever que:

0 = ln ⁡ x + 2 ⇒ ln ⁡ x =   - 2  

Elevando ambos os lados da equação com a base e e utilizando a propriedade da função logartimo natural:

e ln ⁡ x = x

Temos:

e ln ⁡ x = e - 2 ⇒ x = e - 2

Logo a função f intercepta o eixo x em x = e - 2 .

Passo 4

Por fim, na letra c), esboçando o gráfico de f a partir de um gráfico conhecido, temos:

Note que pegamos uma função que temos conhecimento ln ⁡ x e deslocamos duas unidades para cima.

Resposta

  1. D = x ∈ I R     x ≥ 0 } = ( 0 , ∞ ) e I M = I R = ( - ∞ , ∞ ) ;
  2. f intercepta o eixo x em x = e - 2 ;

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