Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.1 - Ex. 63
Se e são números positivos, ache o valor máximo de
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar os números críticos da função dada por
E para isso precisamos lembrar que o número crítico da função é o valor de que faz com que a inclinação da reta tangente ao gráfico da função seja igual a zero.
Esses pontos ajudam a gente a encontrar os valores de máximo ou mínimo da função.
Então para acha-los, faremos:
Então, para encontra-lo, basta derivarmos a função e igualar a zero. E resolver a equação resultante.
Vamos nessa!
Passo 2
Nossa função é
E perceba que temos uma função formada pela multiplicação de duas outras funções, pois temos a funçãp multiplicando .
Sendo assim, sua derivada deverá ser calculada usando a regra do produto. Sendo:
Onde:
Passo 3
Para calcular usamos a regra do expoente
Já para precisamos da regra da cadeia:
Agora juntamos aplicamos a regra da multiplicação:
Então, derivando utilizando a regra do produto e a regra da cadeia:
E reorganizando, ficamos com:
E essa é nossa derivada.
Passo 4
Igualando a zero
Pelo princípio da multiplicação por zero, temos que ou
Ou
Ou
Passo 5
Para continuarmos deveremos aplicar o método do invervalo fechado:
O Método do Intervalo Fechado - Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a,b]:
1- Encontre os valores de f nos extremos do intervalo.
2- Encontre os valores de f nos números críticos de f em [a,b].
3- O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.
Necessitamos calcular então:
Então
Agora, calcularemos a parte
Com isso, podemos ver que
É um ponto de máximo absoluto, pois como . Então esse ponto é o valor máximo da função.
Resposta
O valor máximo é