Enunciado

F = ∫ a b ρ h x w x sec ⁡ θ d x

Derive a fórmula dada acima para a força do fluido sobre uma superfície plana imersa a um certo ângulo em um fluido.

Passo 1

E aí, galerous, tudo bem? Para esse problema, precisamos analisar o que o enunciado nos da para obter o que ele nos pede! Confuso né? Mas vamos co m calma.

Bom, pelo enunciado,temos uma força aplicada a uma superfície plana que é imersa verticalmente! Agora pensa aqui comigo, se aplicarmos uma força vertical e constante então teremos F , mas se a placa estiver inclinada formando um ângulo com a vertical, então ela ira diminuir numa fração de F cos ⁡ θ , certo?!

Passo 2

Agora vamos pelo que o problema nos pede. Em relação ao caso do objeto está imerso, o mesmo terá um peso dado por ρ e uma variação de altura que é dada por x = a até x = b , numa direção positiva que se encontra inclinada.

Derivando a equação, temos:

F = ρ sec ⁡ θ ∫ a b h x w x d x

F = ρ sec ⁡ θ [ h b - a w b - a ]

Como w ( x ) é a largura da superfície e h ( x ) é a profundidade do ponto x , temos:

F = ρ sec ⁡ θ h x A n

Após a derivação da equação, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos a = x 0 e b = x n .

Então a força na placa satisfaz as seguintes inequações:

ρ h   x k - 1 A k cos ⁡ θ ≤ F ≤ ρ h x k A k cos ⁡ θ

ou equivalente:

h x = F sec ⁡ θ ρ A k

h x k - 1 ≤ F sec ⁡ θ ρ A k < h ( x k )

E assim, é possível chegar na equação do enunciado! Belezinha?

Resposta

F = ∫ a b ρ h x w x sec ⁡ θ d x

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