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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.11 - Ex. 15

int_4^9 2 t √ t d t

Passo 1

Sempre nas questões para resolver uma integral um bom primeiro passo é buscar uma substituição de variável de modo em que apareça algo do tipo:

int f (g (x)) g^' (x) d x = int f (u) d u

Sendo g (x) = u e g^' (x) d x = d u

Passo 2

Seja :

sqrt(t) = u ⟹ t = u^2

Então, derivando em relação a t a equação acima

(d sqrt(t))/(d t) = (d u)/(d t) = (1)/(2) ((1)/(sqrt(t))) ⟹ 2 u d u = d t

Substituindo na nossa integral

int_(t = 4)^(t = 9) 2 ( u^2 ) ( u ) ( 2 u ) d u = int_(t = 4)^(t = 9) 4 ( u^4 ) d u = 4 int_(t = 4)^(t = 9) ( u^4 ) d u = 4 (u^5)/(5)

Voltando para nossa variável inicial (t):

4 int_(t = 4)^(t = 9) ( u^4 ) d u = 4 (u^5)/(5) = 4 (t^((5)/(2)))/(5) (​|_4 -> 9

4 (t^((5)/(2)))/(5) (​|_4 -> 9 = (4)/(5) (9^((5)/(2)) - 4^((5)/(2))) = (844)/(5)

Resposta

int_4^9 2 t √ t d t = (844)/(5)

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