∫ 4 9 2 t √ t d t

Passo 1

Sempre nas questões para resolver uma integral um bom primeiro passo é buscar uma substituição de variável de modo em que apareça algo do tipo:

∫ f g x g ' x d x =   ∫ f u d u

Sendo g x = u e g ' x d x = d u

Passo 2

Seja :

t = u   ⟹ t = u 2  

Então, derivando em relação a t a equação acima

d t d t = d u d t = 1 2 1 t   ⟹ 2 u d u =   d t

Substituindo na nossa integral

∫ t = 4 t = 9 2 ( u 2 ) ( u ) ( 2 u ) d u =   ∫ t = 4 t = 9 4 ( u 4 ) d u =   4 ∫ t = 4 t = 9 ( u 4 ) d u = 4 u 5 5

Voltando para nossa variável inicial (t):

4 ∫ t = 4 t = 9 ( u 4 ) d u = 4 u 5 5 = 4 t 5 2 5 ​ 4 → 9  

4 t 5 2 5 ​ 4 → 9 = 4 5 9 5 2 - 4 5 2 = 844 5

Resposta

∫ 4 9 2 t √ t d t = 844 5

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