Na Seção 4.8, no Volume I, consideramos o método de Newton para aproximar uma raiz r da equação f x = 0 , e a partir de uma aproximação inicial x 1 obtivemos aproximações sucessivas x 2 ,x 3 ,…, onde x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n ) Use a desigualdade de Taylor com n = 1 , a = x n e x = r para mostrar que, se f ' ' x existir em um intervalo I contendo r , x n e x n + 1 e f ' ' x ≤ M , f ' x ≥ K para todo x ∈ I , então x n + 1 - r ≤ M 2 K x n - r 2 [Isso significa que, se x n tem precisão de d casas decimais, então x n + 1 terá precisão de cerca de 2 d casas decimais. Mais precisamente, se o erro no estágio n for no máximo 10 - m , então o erro na etapa n + 1 será no máximo M 2 K 10 - 2 m .]

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 39

Na Seção 4.8, no Volume I, consideramos o método de Newton para aproximar uma raiz da equação , e a partir de uma aproximação inicial obtivemos aproximações sucessivas onde

Use a desigualdade de Taylor com , e para mostrar que, se existir em um intervalo contendo , e e , para todo , então

[Isso significa que, se tem precisão de casas decimais, então terá precisão de cerca de casas decimais. Mais precisamente, se o erro no estágio for no máximo , então o erro na etapa será no máximo .]

Passo 1

Fala, pessoal! De boa?

Nessa questão, queremos obter desigualdades com o polinômio de Taylor (de ordem ) para demonstrar a desigualdade desejada.

Qualquer função pode ser escrita como sendo:

onde é o polinômio de Taylor de grau e é o resto que se obtém de se aproximar a função pelo polinômio. Para o nosso caso, (o enunciado disse), de forma que ficamos com:

O polinômio de Taylor de grau 1 pode ser escrito como sendo:

O enunciado diz para usarmos e , de modo que ficamos com:

Assim, segue que:

Passo 2

Aqui temos um “pulo do gato”. Sabemos que é a raiz procurada da equação . Assim, necessariamente, devemos ter , concorda? Dessa forma, jogando isso na última equação deduzida, temos: