Na Seção 4.8, no Volume I, consideramos o método de Newton para aproximar uma raiz da equação , e a partir de uma aproximação inicial obtivemos aproximações sucessivas onde

Use a desigualdade de Taylor com , e para mostrar que, se existir em um intervalo contendo , e e , para todo , então

[Isso significa que, se tem precisão de casas decimais, então terá precisão de cerca de casas decimais. Mais precisamente, se o erro no estágio for no máximo , então o erro na etapa será no máximo .]

Aqui temos um “pulo do gato”. Sabemos que é a raiz procurada da equação . Assim, necessariamente, devemos ter , concorda? Dessa forma, jogando isso na última equação deduzida, temos:

Reorganizando, temos que:

Vamos dividir os dois lados da equação acima por . Assim:

Observe que agora podemos utilizar a fórmula do método de Newton. A fórmula dada no enunciado é:

Observe que na última fórmula deduzida aparece, justamente, um fator . Que sorte, não? Dessa forma, ficamos com:

Agora, devemos lembrar da desigualdade de Taylor. Sabemos que:

O enunciado fala que , de forma que:

Por outro lado, temos que:

Como o enunciado diz que , então:

Agora, basta combinar a equação (1) na equação (2):

Ou seja,

que é, justamente, a resposta pedida.