Na Seção 4.8, no Volume I, consideramos o método de Newton para aproximar uma raiz r da equação f(x) = 0 , e a partir de uma aproximação inicial x₁ obtivemos aproximações sucessivas x₂, x₃, ... onde

x_(n+1) = x_n - (f(x_n) / f'(x_n))

Use a desigualdade de Taylor com n = 1 , a = x_n e x = r para mostrar que, se f''(x) existir em um intervalo I contendo r , x_n e x_{n + 1} e | f''(x) ≤ M , | f'(|x|) ≥ K para todo x ∈ I , então

| x_n+1 - r | ≤ M / (2K) | x_n - r |^2

[Isso significa que, se x_n tem precisão de d casas decimais, então x_n+1 terá precisão de cerca de 2d casas decimais. Mais precisamente, se o erro no estágio n for no máximo 10^(-m) , então o erro na etapa n + 1 será no máximo M / (2K) * 10^(-2m) .]

Passo 1

Fala, pessoal! De boa?

Nessa questão, queremos obter desigualdades com o polinômio de Taylor (de ordem n = 1 ) para demonstrar a desigualdade desejada.

Qualquer função pode ser escrita como sendo:

f x = T n x + R n x

onde T n x é o polinômio de Taylor de grau n e R n x é o resto que se obtém de se aproximar a função pelo polinômio. Para o nosso caso, n = 1 (o enunciado disse), de forma que ficamos com:

f x = T 1 x + R 1 x

O polinômio de Taylor de grau 1 pode ser escrito como sendo:

T 1 x = f a + f ' a x - a

O enunciado diz para usarmos x = r e a = x n , de modo que ficamos com:

T 1 r = f x n + f ' x n r - x n

Assim, segue que:

f r = T 1 r + R 1 r

f r = f x n + f ' x n r - x n + R 1 r

Passo 2

Aqui temos um “pulo do gato”. Sabemos que r é a raiz procurada da equação f x = 0 . Assim, necessariamente, devemos ter f r = 0 , concorda? Dessa forma, jogando isso na última equação deduzida, temos:

0 = f x n + f ' x n r - x n + R 1 r

Reorganizando, temos que:

f ' x n x n - r - f x n = R 1 ( r )

Vamos dividir os dois lados da equação acima por f ' x n . Assim:

x n - r - f x n f ' x n = R 1 ( r ) f ' x n

Observe que agora podemos utilizar a fórmula do método de Newton. A fórmula dada no enunciado é:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Observe que na última fórmula deduzida aparece, justamente, um fator x n - f x n / f ' x n . Que sorte, não? Dessa forma, ficamos com:

x n - f x n f ' x n - r = R 1 r f ' x n

x n + 1 - r = R 1 r f ' x n

Passo 3

Agora, devemos lembrar da desigualdade de Taylor. Sabemos que:

R 1 r ≤ f ' ' r 2 ! r - x n 2

O enunciado fala que f ' ' r ≤ M , de forma que:

R 1 r ≤ M 2 r - x n 2             1

Por outro lado, temos que:

x n + 1 - r = R 1 r f ' x n

Como o enunciado diz que f ' x n ≥ K , então:

x n + 1 - r = R 1 r f ' x n ≤ R 1 r K ⟹ x n + 1 - r ≤ R 1 r K       2

Passo 4

Agora, basta combinar a equação (1) na equação (2):

x n + 1 - r ≤ R 1 r K ≤ 1 K ⋅ M 2 r - x n 2

Ou seja,

x n + 1 - r ≤ M 2 K r - x n 2

que é, justamente, a resposta pedida.

Resposta

Demonstração.

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