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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.2 - Ex. 6

  1. Seja F(x) = int_0^x f (t) d t o n d e f (t) = {_((1)/(t) s e t >= 1)^(t^2 s e t < 1)

Verifique que F'(x) = f(x) em todo x.

Passo 1

Em integrais temos essa propriedade,

int_a^b f (x) d x = int_a^b f (x) d x + int_b^c f ( x ) d x

Passo 2

Aplicando em nossa questão:

F (x) = int_0^x f (t) d t -> {[[int_0^x t^2 d t s e t < 1],[int_0^1 (1)/(t) d t + int_1^x (1)/(t) d t s e t >= 1]])

Passo 3

Resolvendo...

int_0^x t^2 d t = (t^3)/(3) |_0^x = (x^3)/(3) - 0 = (x^3)/(3) s e x <= 1

int_0^1 t^2 d t + int_1^x (1)/(t) d t = (t^3)/(3) |_0^1 + l n |_1^x = (1)/(3) + l n x s e x > 1

F^' (x) = f (x) ?

F^' (x) = ((x^3)/(3))^' = (3 x^2)/(3) = x^2 s e x <= 1

F^' (x) = ((1)/(3) + l n x)^' = (1)/(x) s e x > 1

Resposta

F (x) = {[[(x^3)/(3) s e x <= 1],[(1)/(3) + l n x s e x > 1]]) F^' (x) = {[[x^2 s e x < 1],[(1)/(x) s e x > 1]])

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