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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 15

Calcule a derivada direcional da função dada, no ponto e direção de w → indicados.

A) f x ,   y ,   z =   x y z em (1, 1, 1) e na direção w → = 2   i → +   j → - k → .

B) f x ,   y ,   z =   x 2 +   x y + z 2 em (1, 2, -1) e na direção de w → =   i → + 2   j → + k → .

Passo 1

OPA, EAE, aqui está você de novo, já sei o que você tá procurando, isso mesmo, eu sou vidente, e você caro aluno do futuro veio ao lugar certo, então, irei apresentá-lo as equações que usaremos:

∇ f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z ) (1)

D u → =   ∇ f *   u → | u | (2)

Essa é uma questão simples, é apenas aplicação dessas equações, questões assim são ótimas para praticar, inclusive, o Responde Aí tem varias perguntas boas para praticar, APROVEITA ESSA PLATAFORMA POXA, então, bora para as alternativas.

Passo 2

Começando pela porta de número A (acabei de pisar na matemática, ou será que não), basta calcular o vetor gradiente e fazer o produto com o vetor w, e pronto, teremos a derivada direcional:

∇ f ( x , y , z ) = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z )

∇ f ( x , y , z ) = ( y z , x z , x y )

∇ f ( 1 ,   1 ,   1 ) = ( 1,1 , 1 )

Agora, vamos de derivada direcional (equação 2):

D u → =   ∇ f *   u → | u |

D u → =   1,1 , 1 * ( 2 ,   1 ,   - 1 ) 6

D u → = 2 6  

PRONTINHO, saltemos para a Letra B.

Passo 3

Utilizaremos o mesmo raciocínio da questão anterior, então, sem muita enrolação, força nesses cálculos!

∇ f ( x , y , z ) = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z )

∇ f ( x , y , z ) = ( 2 x + y , x , 2 z )

∇ f ( 1 ,   2 ,   - 1 ) = ( 4,1 , - 2 )

Vou logo com isso, acho que minha comida ta queimando ali

D u → =   ∇ f *   u → | u |

D u → =   4,1 , - 2 * ( 1 ,   2 ,   - 1 ) 6

D u → = 4 6

E É ISSO, bons estudos, até a próxima !

Resposta

A) D u → = 2 6

B) D u → = 4 6

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