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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 17

Seja f x , y diferenciável e sejam  u → e v → vetores de R 2 , unitários e ortogonais. Prove que

∇ f x , y = ∂ f ∂ u → x , y u → + ∂ f ∂ v → x , y v →

Passo 1

Este problema requer bastante trabalho braçal!

Podemos começar a nossa solução escrevendo u → = u x , u y e v → = v x , v y .

A partir dali, vamos fazer uso das informações dadas:

- u → e v → são unitários: u → ⋅ u → = u x 2 + u y 2 = 1 e v → ⋅ v → = v x 2 + v y 2 = 1

- u → e v → são ortogonais: u → ⋅ v → = v → ⋅ u → = u x v x + u y v y = 0 .

Passo 2

Bom, um bom ponto de partida é começarmos avaliando o valor de ∂ f ∂ u → x , y :

∂ f ∂ u → x , y = ∇ f ⋅ u → = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ⋅ u x , u y = u x ∂ f ∂ x + u y ∂ f ∂ y

Analogamente,

∂ f ∂ v → x , y = v x ∂ f ∂ x + v y ∂ f ∂ y

Perfeito!

Passo 3

Agora, vamos introduzir os valores de ∂ f ∂ u → x , y e ∂ f ∂ v → x , y no lado direito da equação dada:

∂ f ∂ u → x , y u → + ∂ f ∂ v → x , y v → = u x ∂ f ∂ x + u y ∂ f ∂ y u → + v x ∂ f ∂ x + v y ∂ f ∂ y v →

Agora, abrindo u → e v → , obtemos

∂ f ∂ u → x , y u → + ∂ f ∂ v → x , y v → = u x ∂ f ∂ x + u y ∂ f ∂ y u x , u y + v x ∂ f ∂ x + v y ∂ f ∂ y v x , v y

Juntando tudo, ficamos com

∂ f ∂ u → x , y u → + ∂ f ∂ v → x , y v → = u x 2 ∂ f ∂ x + u x u y ∂ f ∂ y , u x u y ∂ f ∂ x + u y 2 ∂ f ∂ y + v x 2 ∂ f ∂ x + v x v y ∂ f ∂ y , v x v y ∂ f ∂ x + v y 2 ∂ f ∂ y = u x 2 ∂ f ∂ x + u x u y ∂ f ∂ y + v x 2 ∂ f ∂ x + v x v y ∂ f ∂ y , u x u y ∂ f ∂ x + u y 2 ∂ f ∂ y + v x v y ∂ f ∂ x + v y 2 ∂ f ∂ y

Arrumando tudo, podemos identificar as relações u → ⋅ u → , u → ⋅ v → e v → ⋅ v → :

∂ f ∂ u → x , y u → + ∂ f ∂ v → x , y v → = u x 2 + v x 2 ∂ f ∂ x + u x u y + v x v y ∂ f ∂ y , u x u y + v x v y ∂ f ∂ x + u y 2 + v y 2 ∂ f ∂ y

Como vimos no passo 1, temos que:

u x 2 + u y 2 = 1

v x 2 + v y 2 = 1

u x v x + u y v y = 0

Dessa forma, ficamos com:

∂ f ∂ u → x , y u → + ∂ f ∂ v → x , y v → = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Opaaa, repare que temos justamente o gradiente da função do lado direito da equação! Com isso, podemos substituir e:

∂ f ∂ u → x , y u → + ∂ f ∂ v → x , y v → = ∇ f x , y

Prontinho!! Nós saímos de:

∂ f ∂ u → x , y u → + ∂ f ∂ v → x , y v → = u x ∂ f ∂ x + u y ∂ f ∂ y u → + v x ∂ f ∂ x + v y ∂ f ∂ y v →

Provando que:

u x ∂ f ∂ x + u y ∂ f ∂ y u → + v x ∂ f ∂ x + v y ∂ f ∂ y v → = ∇ f x , y

E conseguimos terminar a prova de que:

∂ f ∂ u → x , y u → + ∂ f ∂ v → x , y v → = ∇ f x , y

Como o exercício pediu! Beleza?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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