Supondo que v → representa a velocidade de um fluido em movimento, verificar se v → representa um possível fluido incompressível.

e) v(x, y, z) = (2xz, -2yz, 2z)

Passo 1

Queremos identificar se o fluido é incompressível, ou compressível, para isso precisamos calcular div ⁡ v → . Isso é porque, pela equação da continuidade

div ⁡ u → + ∂ ρ ∂ t = 0

∂ ρ ∂ t = - div ⁡ u →

o fluido será incompressível se div ⁡ u → = 0 .

Passo 2

Queremos encontrar div ⁡ v → , então basta fazermos o seguinte:

div ⁡ v → = ∂ v 1 ∂ x + ∂ v 2 ∂ y + ∂ v 3 ∂ z

Aplicando a formula cima em v → temos:

div ⁡ v → = ∂ ∂ x 2 x z + ∂ ∂ y - 2 y z + ∂ ∂ z 2 z

div ⁡ v → = 2 z - 2 z + 2

div ⁡ v → = 2

Temos então que o fluido é compressível.

Resposta

Fluido compressível

div ⁡ v → = 2

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