Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcular o fluxo de através de .

, é a superfície do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .

Vamos começar pelo cálculo do divergente:

A função campo é do tipo:

Como nosso campo tem a equação:

Nossos termos são:

Aplicando na equação do divergente:

Ficamos com:

Realizando cada derivada parcial, temos:

Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência!

Como sabemos:

Então, precisamos dos limites de integração para cada variável. O enunciado traz que nossa superfície está limitada pelo cilindro

e pelos planos

e

Então, para os limites já estão dados:

Perceba que nosso cilindro

Depende de e de , então estamos no plano . Como nesse plano temos um círculo de raio , como nos mostra a equação acima, podemos expressar em coordenadas polares. Como temos uma circunferência completa, centrada na origem e de raio , nossos limites serão:

Como para coordenadas polares, temos:

Ficaremos com:

Também usamos a equação:

Então, nossa integral fica:

Resolvendo a integral, teremos:

Separando a integral do produto como um produto de integrais, cada qual com seus limites e variáveis de integração:

Resolvendo nossas integrais:

Aplicando os limites de integração:

Temos finalmente:

O Fluxo de através de será: