Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 7
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcular o fluxo de através de .
, é a superfície do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .
Passo 1
Fala, galera! Tudo joia?
A questão quer que a gente calcule a integral de superfície
Onde:
E é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
O Teorema do Divergente diz que:
Ou seja, o fluxo de pela fronteira de é igual a integral tripla da divergência de sobre a mesma fronteira .
Então, nós vamos precisar calcular o divergente de dado por:
E calcular nossa integral tripla com base nos limites de integração que o enunciado nos deu!
Bora!
Passo 2
Vamos começar pelo cálculo do divergente:
A função campo é do tipo:
Como nosso campo tem a equação:
Nossos termos são:
Aplicando na equação do divergente:
Ficamos com:
Realizando cada derivada parcial, temos:
Passo 3
Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência!
Como sabemos:
Então, precisamos dos limites de integração para cada variável. O enunciado traz que nossa superfície está limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
Então, para os limites já estão dados:
Perceba que nosso cilindro
Depende de e de , então estamos no plano . Como nesse plano temos um círculo de raio , como nos mostra a equação acima, podemos expressar em coordenadas polares. Como temos uma circunferência completa, centrada na origem e de raio , nossos limites serão:
Como para coordenadas polares, temos:
Ficaremos com:
Também usamos a equação:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Resolvendo a integral, teremos:
Separando a integral do produto como um produto de integrais, cada qual com seus limites e variáveis de integração:
Resolvendo nossas integrais:
Aplicando os limites de integração:
Temos finalmente:
O Fluxo de através de será: