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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 10 b

Seja vec F (x , y) = - (y)/(x^2 + y^2) vec i + (x)/(x^2 + y^2) vec j , (x , y) != (0,0) .

b) Calcule int_0^(2 pi) F (y (t)) * y^' (t) d t , onde gamma (t) = (cos (t) , s e n (t)) , t in [ 0 , , 2 pi ]

Passo 1

Perceba que esse caminho, no intervalo que nos foi dado é fechado. Poderíamos usar o teorema da questão anterior? Ainda não! Não temos certeza de que o campo é conservativo, minino!

Então vamos calcular integral. Antes precisamos fazer a parametrização que nos foi sugerida

x = c o s t , y = s e n t ⟹ F = (- s e n t + c o s t)

Derivando a parametrização, temos que

gamma^' (t) = ( - s e n t , c o s t )

Agora podemos ir pra integral. Partxiiiu!

Passo 2

int_0^(2 pi) (- s e n t + c o s t) * (- s e n t + c o s t) d t = int_0^(2 pi) (- s e n t + c o s t)^2 d t = int_0^(2 pi) (s e n^2 t + cos^2 t + 2 s e n t c o s t) * d t = int_0^(2 pi) (1 + 2 s e n t c o s t) d t = t (​|_0^(2 pi) + 2 int_0^(2 pi) s e n t c o s t d t = 2 pi + 2 int_0^(2 pi) s e n t c o s t d t

Para resolver a segunda integral vamos fazer a seguinte substituição:

u = s e n t ⟹ d u = c o s t d t

int_0^(2 pi) s e n t c o s t d t = int_(t = 0)^( t = 2 pi) u d u = (u^2)/(2) = (s e n^2 t)/(2) (​|_0^(2 pi) = 0

Passo 3

Substituindo na nossa integral,

int_0^(2 pi) (- s e n t + c o s t) * (- s e n t + c o s t) d t = 2 pi + 2 int_0^(2 pi) s e n t c o s t d t = 2 pi != 0

Resposta

int_0^(2 pi) (- s e n t + c o s t) * (- s e n t + c o s t) d t = 2 pi

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Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:f) z = x y - s e n( x + y ) ; P π 2 , 0