Seja F(x, y) = -y/(x^2 + y^2) i + x/(x^2 + y^2) j , (x, y) != (0, 0) .

b) Calcule ∫ 0 2 π   F y t ⋅ y ' t d t , onde gamma(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ [0, 2pi]

Passo 1

Perceba que esse caminho, no intervalo que nos foi dado é fechado. Poderíamos usar o teorema da questão anterior? Ainda não! Não temos certeza de que o campo é conservativo, minino!

Então vamos calcular integral. Antes precisamos fazer a parametrização que nos foi sugerida

x = c o s t   ,   y = s e n t ⟹ F =   - s e n t + c o s t  

Derivando a parametrização, temos que

γ ' t = ( - s e n t , c o s t )

Agora podemos ir pra integral. Partxiiiu!

Passo 2

∫ 0 2 π   - s e n t + c o s t ⋅ - s e n t + c o s t   d t =   ∫ 0 2 π   - s e n t + c o s t 2   d t =   ∫ 0 2 π   s e n 2 t + cos 2 ⁡ t + 2   s e n t   c o s t   ⋅ d t =   ∫ 0 2 π   1 + 2   s e n t   c o s t     d t     = t   ​ 0 2 π + 2   ∫ 0 2 π   s e n t   c o s t   d t   = 2 π +   2   ∫ 0 2 π   s e n t   c o s t   d t  

Para resolver a segunda integral vamos fazer a seguinte substituição:

u = s e n t ⟹   d u = c o s t   d t

∫ 0 2 π   s e n t   c o s t   d t   =   ∫ t = 0   t =   2 π   u   d u   =   u 2 2 = s e n 2 t 2 ​ 0 2 π = 0

Passo 3

Substituindo na nossa integral,

∫ 0 2 π   - s e n t + c o s t ⋅ - s e n t + c o s t   d t =   2 π +   2   ∫ 0 2 π   s e n t   c o s t   d t   = 2 π ≠ 0

Resposta

∫ 0 2 π   - s e n t + c o s t ⋅ - s e n t + c o s t   d t = 2 π

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