Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 9b
9. Seja
- Determine e
- Mostre que e não são contínuas em
- Mostre, usando a definição que f é diferençável em
- Mostre que f é uma função diferenciavel em R²
Passo 1
Neste item a) descobrimos que nossas derivadas parciais são
Agora o exercício pede para que mostremos que não são continuas em (0,0) sendo bem rigoroso não podemos apenas plotar o ponto nessa derivada, porque a função tem uma uma quebra no domínio. Logo para provar isso podemos fazer um limite
E
Isso fica matematicamente correto 😉
Passo 2
Vamos começar com
Vamos lembrar a hierarquia das funções
Polinomio > funções trigonométricas
Polinômios são mais rápidos que funções senóides. Então quando temos esse limite
Podemos fazer o seguinte
O primeiro limite tende a zero porque o polinômio é mais rápido a chegar a zero que o seno em oscilar. Agora ficamos com
O mesmo pensamento serve para esse limite. Podemos ate excluir ele do nosso limitem, pois o resultado vai depender apenas dos outros fatores
Nesse limite a parte de baixo tem termos ao quadrado que tendem a zero e no numerador apenas um termo de expoente 1. Logo o denominador vai a zero mais rápido que o numerador.
Passo 3
Como a derivada parcial em y é muito parecida com a x
Podemos então concluir que
Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/
Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)