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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.9 - Ex. 12

Seja y = e^x cos x . Verifique que (d^2 y)/(d x^2) - 2 (d y)/(d x) + 2 y = 0 .

Passo 1

Para fazer a verificação vamos encontrar a primeira derivada (d y)/(d x) e a segunda derivada (d^2 y)/(d x^2) e substituir em:

(d^2 y)/(d x^2) - 2 (d y)/(d x) + 2 y = 0

Passo 2

Vamos analisar a função, aqui vamos usar a regra do produto para achar (d y)/(d x) :

(h (x) g (x))^' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x)

Temos que:

h (x) = e^x

e

g (x) = cos x

Assim:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (e^x cos x) = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x) = (e^x)^' * cos x + (cos x)^' * e^x

Passo 3

Vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(cos (x))^' = - sen (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Assim:

(d y)/(d x) = (e^x)^' * cos x + (cos x)^' * e^x = e^x * (x)^' * cos x + (- sen x) * e^x = e^x * x^(1 - 1) * cos x - e^x sen x = e^x * x^0 * cos x - e^x sen x = e^x * 1 * cos x - e^x sen x = e^x cos x - e^x sen x = e^x (cos x - sen x)

Passo 4

Agora vamos achar (d^2 y)/(d x^2) , e vamos usar mais uma regra trigonométrica:

(sen (x))^' = cos (x)

Aplicando ficamos com:

(d^2 y)/(d x^2) = (d)/(d x) ((d y)/(d x)) = (d)/(d x) (e^x (cos x - sen x))^' = (e^x)^' * (cos x - sen x) + (cos x - sen x)^' * e^x = e^x * (cos x - sen x) + (- sen x - cos x) * e^x = e^x * (cos x - sen x - sen x - cos x) = - 2 e^x sen x

Passo 5

Vamos agora substituir a derivada:

(d^2 y)/(d x^2) - 2 (d y)/(d x) + 2 y = 0 -> - 2 e^x sen x - 2 e^x (cos x - sen x) + 2 e^x cos x = 0 -> - 2 e^x sen x - 2 e^x cos x + 2 e^x sen x + 2 e^x cos x = 0 -> 0 = 0

Pronto, verificamos!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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