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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.3 - Ex. 4c

Sejam F → ,   G → ,   H → três funções definidas em A ⊂ R e a valores em R 3 . Verifique que

F → × G → + H → = F → × G → + F → × H →

Passo 1

Nesse item vamos usar as funções F → , G → e H → , então vamos definir

F → t = a 1 t , b 1 t , c 1 ( t )

G → t = a 2 t , b 2 t , c 2 ( t )

H → t = a 3 t , b 3 t , c 3 ( t )

Partindo então do lado esquerdo da igualdade, precisamos do vetor G → + H →

G → + H → = a 2 + a 3 , b 2 + b 3 , c 2 + c 3

Calculando então o produto vetorial

F → × G → + H → = b 1 c 2 + c 3 - c 1 ( b 2 + b 3 ) i → + a 2 + a 3 c 1 - a 1 c 2 + c 3 j → + a 1 b 2 + b 3 - a 2 + a 3 b 1 k →

Fazendo as distributivas

= b 1 c 2 + b 1 c 3 - c 1 b 2 - c 1 b 3 i → + a 2 c 1 + a 3 c 1 - a 1 c 2 - a 1 c 3 j → + a 1 b 2 + a 1 b 3 - a 2 b 1 - a 3 b 1 k →

Podemos então separar em dois vetores

= b 1 c 2 - c 1 b 2 i → + a 2 c 1 - a 1 c 2 j → + a 1 b 2 - a 2 b 1 k → + b 1 c 3 - c 1 b 3 i → + a 3 c 1 - a 1 c 3 j → + a 1 b 3 - a 3 b 1 k →

E podemos observar que o primeiro vetor é F → × G → e o segundo é F → × H → , então, como iniciamos em F → × G → + H → , podemos afirmar que

F → × G → + H → = F → × G → + F → × H →

Para quaisquer funções a i , b i , c i ,   i = 1,2 , 3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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