Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 2b
é diferenciável em ? Justifique.
Passo 1
O problema forneceu pra gente a função
No exercício 2 da seção 9.2 deste livro, vimos que essa função é contínua em . Na verdade não era exatamente essa função (o numerador era ), mas a ideia é exatamente a mesma. Agora temos que verificar se essa função é diferenciável em . Para isso, temos que calcular o “limitão”:
onde
Se esse limite for zero, significa que a função é derivável nesse ponto.
Passo 2
Para fazer essa conta, vamos precisar das derivadas parciais. Mas note que devemos calcular a derivada no ponto que é um ponto de colagem da função. Pontos de colagem são esses pontos que definimos a função à parte.
Assim, não podemos usar as regras de derivação nesse ponto e temos que recorrer à definição de derivada parcial:
Como estamos interessados no aque acontece no ponto :
Mas note que
Além disso, pela definição da função . Assim,
Portanto, as derivadas parciais são nulas em .
Passo 3
Agora podemos voltar ao limitão:
Logo,
Desta forma, o limitão fica
Para calcular esse limite, vamos escolher alguns caminhos específicos que passem pelo ponto . Primeiro vamos escolher o caminho :
Vamos escolher agora um outro caminho com :
O sinal aparece pois e quando tomamos os limites laterais e , vamos obter sinais diferentes na resposta. Mas isso não é tão importante, pois de qualquer forma, por esse caminho o limite dá um valor diferente do que pelo primeiro caminho.
Com isso, vemos que o limitão não existe, pois por caminhos diferentes ela dá valores diferentes. Como o limitão não existe, a função não é diferenciável em .
Resposta
Não é diferenciável.