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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 33

Suponha que quaisquer que sejam x , y   ,   s , t em R 2 , A , f x , y - f s , t ≤ x , y - s , t 2 . Prove que f é constante.

Passo 1

Vish... olhando assim, essa questão parece bem difícil né? Mas relaxa... Não vamos precisar gastar muita energia para mostrar o que ela pede. Vou te mandar a ideia.

A gente viu em alguns exemplos e até num teorema que se a derivada parcial com respeito a uma variável x , por exemplo, for sempre nula, então a função é constante com respeito àquela variável. Mas aqui queremos mostrar que f é constante (em relação as duas variáveis). Então, o foco é mostrar que as derivadas parciais são nulas.

Passo 2

A questão não diz se a função é mesmo derivável, mas vamos admitir, beleza?

Então considere f ( s , t ) vamos derivar com relação a x , no ponto ( s , t ) .

Em módulo, temos que

0 ≤ f x , t - f s , t x , t - s , t

Por hipótese,

0 ≤ f x , t - f s , t x , t - s , t ≤ x , t - s , t 2 x , t - s , t

Tomando o limite,

lim x , y → s , t ⁡   0   ≤ lim x , y → s , t ⁡ f x , t - f s , t x , t - s , t ≤ l i m x , y → s , t x , t - s , t

Por definição,

lim x , y → s , t ⁡   0   ≤ ∂ f ∂ x s , t ≤ l i m x , y → s , t x , t - s , t

Pelo teorema do confronto,

∂ f ∂ x s , t = 0 ⇒ ∂ f ∂ x s , t = 0    

Para qualquer que seja s .

Logo, f é constante com respeito a x,

Passo 3

Da mesma forma,

∂ f ∂ y s , t = 0 ,

Para qualquer que seja o t

Portanto, f é constante.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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