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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 19

Calcule a integral dupla.

∬ R   x   s e n ( x + y )   d A   ,           ��         R = 0 , π 6 × 0 , π 3  

Passo 1

E aiii pessoal, tudo na paz?

Bom, nessa questão temos uma integral dupla e devemos calcular seu valor na região R .

∬ R x s e n ( x + y ) d A ,   R = x , y 0 ≤ x ≤ π 6 ,   0 ≤ y ≤ π 3

E agora? Como fazer?

Primeiro vamos reparar que a região R é um retângulo com x variando de 0 até π 2 e y variando também de 0 até π 2 .

O diferencial de área d A é d x d y ou d y d x . A escolha vai depender da dificuldade de resolver a primeira integral. Como aqui não faz muita diferença, você pode fazer d y d x por exemplo.

Sabendo disso, podemos montar nossa integral dupla. E lembre-se sempre começamos a integrar de dentro para fora. Então, quando integrarmos em d y o termo x é uma constante.

Assim, sua integral deve ficar com essa cara:

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 3 x s e n x + y d y d x

Sabendo disso, bora lá?

Passo 2

Galera, primeiro vamos integral em d y , certo? Conforme conversamos antes.

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 3 x s e n x + y d y d x

A gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora. Repare que precisamos aplicar uma substituição do tipo:

u = x + y

d u = d x

Logo temos que:

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 3 x s e n u d u d x

Integrando em d u e voltando para a variável y, temos:

∫ 0 π 6 x - cos ⁡ x + y 0 π 3 d x

Aplicando os limites de integração,

∫ 0 π 6 x - cos ⁡ x + π 3 + cos ⁡ x d x

Passo 3

Galera, só nos restou uma integral simples em d x pra resolver:

∫ 0 π 6 x - cos ⁡ x + π 3 + cos ⁡ x d x

Vamos organizar melhor. E vale lembrar, que a integral de uma soma é igual a soma das integrais. Logo:

- ∫ 0 π 6 x cos ⁡ x + π 3 d x + ∫ 0 π 6 x cos ⁡ x d x

Mas preste bastante atenção que teremos que usar integração por partes em ambas as integrais, do tipo:

u v - ∫ v d u

Para a primeira integral, vamos dizer que:

u = x ⁡ ∴ d u = d x

d v = cos ⁡ x + π 3 d x ∴ v = sen ⁡ x + π 3

Para a segunda integral, vamos dizer que:

u = x ⁡ ∴ d u = d x

d v = cos ⁡ x d x ∴ v = sen ⁡ x

Passo 4

Agora vamos integrar separadamente e depois somar os resultados.

Começando pela primeira integral:

- ∫ 0 π 6 x cos ⁡ x + π 3 d x

Aplicando integrais por partes que mencionamos antes, temos que: - x s e n x + π 3 + ∫ 0 π 6 sen ⁡ x + π 3 d x

Integrando, temos:

- x s e n x + π 3 - cos ⁡ x + π 3 0 π 6

Aplicando os limites de integração, temos que:

- π 6 s e n π 6 + π 3 - cos ⁡ π 6 + π 3 - - 0 s e n 0 + π 3 -   cos ⁡ 0 + π 3  

Simplificando temos:

- π 6 s e n π 2 - cos ⁡ π 2 - - cos ⁡ π 3  

- π 6 1 - 0 + 1 2  

- π 6 + 1 2

Passo 5

Agora vamos integrar a segunda integral. Vamos lembrar ela:

∫ 0 π 6 x cos ⁡ x d x

Aplicando a integral por partes que definimos antes, temos:

x s e n x - ∫ 0 π 6 sen ⁡ x d x

Integrando, temos que:

x s e n x + c o s x 0 π / 6

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

π 6 s e n π 6 + c o s π 6 - 0 s e n 0 + c o s 0

Resolvendo,

π 6 1 2 + 3 2 - 1

π 12 + 3 2 - 1

Beleza até aqui pessoal. Agora precisamos somar os resultamos das duas integrais.

Logo, temos que:

- π 6 + 1 2 + π 12 + 3 2 - 1

Simplificando,

- π 12 + 3 2 - 1 2

Logo, nossa resposta é:

∬ R   x   s e n ( x + y )   d A = 3 - 1 2 - π 12

Resposta

3 - 1 2 - π 12

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Calcule a integral ∬ D x 2t gx + y 3 + 4d A , onde D = x , yx 2 + y 2 ≤ 2 } . [Sugestão: explore o fato de que D é simétrica com relação a ambos os eixos.]