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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 2c

Seja f definida R . Suponha que underset(x -> 0)(lim) (f (x))/(x) = 1 . Calcule

underset(x -> 1)(lim) (f (x^2 - 1))/(x - 1)

Passo 1

Se supormos que existam funções g (u) e u = f (x) , onde g ou é contínua em a ou não está definida em a , tais que:

F (x) = g (u) onde u = f (x) , x in D_f , underset(x -> p)(lim) f (x) = a ( u -> a para x -> p )

e que underset(u -> a)(lim) g (u) exista. Então:

underset(x -> p)(lim) F (x) = underset(u -> a)(lim) g (u)

Agora vamos achar quem é u .

Passo 2

Vamos fazer manipulações então, vamos multiplicar e dividir a expressão por x + 1 :

underset(x -> 1)(lim) (f (x^2 - 1))/(x - 1) = underset(x -> 1)(lim) ((x + 1) * f (x^2 - 1))/((x + 1) (x - 1))

Ajeitando,

underset(x -> 1)(lim) ((x + 1) * f (x^2 - 1))/(x^2 - 1)

Podemos separar em dois limites,

underset(x -> 1)(lim) x + 1 * underset(x -> 1)(lim) (f (x^2 - 1))/(x^2 - 1)

Repara que no segundo limite o termo dentro de f é igual ao denominador. Deste modo, temos que u = x^2 + 1 .

Pronto, agora vamos calcular os dois limites separadamente.

Passo 3

Para o primeiro limite podemos aplicar direto:

underset(x -> 1)(lim) x + 1 = 1 + 1 = 2

Já underset(x -> 1)(lim) (f (x^2 - 1))/(x^2 - 1) vamos fazer uma mudança de variável:

u = x^2 + 1

Temos então que u -> 0 para x -> 1 :

underset(x -> 1)(lim) (f (x^2 - 1))/(x^2 - 1) = underset(u -> 0)(lim) (f (u))/(u) = 1

Passo 4

Agora é só voltar a expressão, multiplicando os dois limites:

underset(x -> 1)(lim) (f (x^2 - 1))/(x - 1) = underset(x -> 1)(lim) x + 1 * underset(x -> 1)(lim) (f (x^2 - 1))/(x^2 - 1) = 2 * 1 = 2

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (f (x^2 - 1))/(x - 1) = 2

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