Seja f definida R . Suponha que lim x → 0 ⁡ f x x = 1 . Calcule

lim x → 1 ⁡ f x 2 - 1 x - 1

Passo 1

Se supormos que existam funções g u e u = f x , onde g ou é contínua em a ou não está definida em a , tais que:

F x = g u onde u = f x , x ∈ D f , lim x → p ⁡ f x = a ( u → a para x → p )

e que lim u → a ⁡ g u exista. Então:

lim x → p ⁡ F x = lim u → a ⁡ g u

Agora vamos achar quem é u .

Passo 2

Vamos fazer manipulações então, vamos multiplicar e dividir a expressão por x + 1 :

lim x → 1 ⁡ f x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x + 1 ∙ f x 2 - 1 x + 1 x - 1

Ajeitando,

lim x → 1 ⁡ x + 1 ∙ f x 2 - 1 x 2 - 1

Podemos separar em dois limites,

lim x → 1 ⁡ x + 1 ∙ lim x → 1 ⁡ f x 2 - 1 x 2 - 1

Repara que no segundo limite o termo dentro de f é igual ao denominador. Deste modo, temos que u = x 2 + 1 .

Pronto, agora vamos calcular os dois limites separadamente.

Passo 3

Para o primeiro limite podemos aplicar direto:

lim x → 1 ⁡ x + 1 = 1 + 1 = 2

lim x → 1 ⁡ f x 2 - 1 x 2 - 1 vamos fazer uma mudança de variável:

u = x 2 + 1

Temos então que u → 0 para x → 1 :

lim x → 1 ⁡ f x 2 - 1 x 2 - 1 = lim u → 0 ⁡ f u u = 1

Passo 4

Agora é só voltar a expressão, multiplicando os dois limites:

lim x → 1 ⁡ f x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x + 1 ∙ lim x → 1 ⁡ f x 2 - 1 x 2 - 1 = 2 ∙ 1 = 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ f x 2 - 1 x - 1 = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados