Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 1d
Calcule
Passo 1
Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função quando se aproxima de .
Repare que substituindo na função, temos uma indeterminação do tipo . Então, pra fugir dessa indeterminação, vamos tentar manipular a nossa expressão para simplificar o resultado e conseguir aplicar o valor do limite.
Vamos lá!
Passo 2
Se supormos que existam funções e , onde ou é contínua em ou não está definida em , tais que:
onde , , ( para ). E que exista. Então:
Vamos então achar essas funções.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição, vamos fazer que:
onde . Vamos então definir esse novo limite:
Expandindo o produto notável no denominador:
Fazendo a divisão de frações:
Além disso, quando , temos . Então, nosso limite fica:
Passo 4
Vamos calcular então:
Vamos tentar multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pela expressão de :
Agora aplicando a distributiva no produto:
E simplificando, temos:
Passo 5
Agora é só necessário substituir o valor na expressão e pronto:
E por fim temos que:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉