Seja f(x) derivável e periódica de período T. Mostrar que f'(x) também é periódica de período T.

Passo 1

Se uma função, derivável e periódica, tem período T, podemos escrever a seguinte sentença:

f x = f ( x + k ∙ T )

Onde k é um número inteiro que multiplica T , o período da função, que pode ser qualquer número real.

Passo 2

Ao derivarmos ambos os lados da sentença, vamos ter:

f ' x = f ' ( x + k ∙ T )

Como k e T são ambos números – logo, constantes – suas derivadas se anulariam, e resultaríamos simplesmente em:

f ' x = f ' ( x )

Passo 3

Por questões de praticidade, usamos como exemplo a f x = sin ⁡ x , que e derivável e periódica de período T = 2 π .

Temos que vale que:

sin ⁡ x = sin ⁡ ( x + k ∙ 2 π )

Derivando ambos os lados da igualdade, teremos:

d ( sin ⁡ x ) d x = d sin ⁡ ( x + k ∙ 2 π ) d x

cos ⁡ x = cos ⁡ x + 0

∴ cos ⁡ x = cos ⁡ x

Fica assim confirmada a tese do enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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