Mostrar que a função y = x * e^(-x^2 / 2) satisfaz a equação x y' = (1 - x^2) y .

Passo 1

Para verificarmos isso, vamos fazer a derivação implícita da função. Vamos derivar em relação à variável x .

y^' = 1 * e^((- (x^2)/(2))) + x * ( - x ) * e^((- (x^2)/(2)))

y^' = e^((- (x^2)/(2))) - x^2 * e^((- (x^2)/(2)))

y^' = e^((- (x^2)/(2))) * ( 1 - x^2 )

Passo 2

Obtido o valor de y ' , substituímos ele na expressão da equação diferencial do enunciado, que queremos comprovar se será satisfeita ou não pela função. Teremos:

x * [ e^((- (x^2)/(2))) * (1 - x^2) ] = (1 - x^2) y

Simplificando o termo ( 1 - x^2 ) em ambos os lados, vamos resultar em:

x * e^((- (x^2)/(2))) = y

Que é exatamente a nossa função original. Então, concluímos que a equação diferencial apresentada pelo enunciado é satisfaz (ou seja, é solução) a função dada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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