Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.16 - Ex. 6
Um fio delgado, pela ação da gravidade, assume a forma da catenária . Demonstrar que para valores pequenos de , a forma que o fio toma pode ser representada, aproximadamente, pela parábola .
Passo 1
Cara, se ele falou em aproximação, ele só pode estar falando do polinômio de Taylor, que serve exatamente pra aproximar valores de funções! O polinômio de Taylor de ordem no ponto é obtido assim:
A parte mais trabalhosa é essa de ter que calcular todas as derivadas, mas o aluno Responde Aí não tem medo de conta, então bora lá! A gente vai calcular a aproximação até o quarto grau, só pra termos uma idéia boa do que tá acontecendo.
Passo 2
Primeiro vamos calcular todas as derivadas: não vou explicar passo a passo, mas com tudo que aprendemos até aqui vai ficar bem mastigadinho, fica tranquilo. Só não pode esquecer da regra da cadeia, ok? Vamos até a derivada de grau , já que queremos o Taylor dessa ordem.
Então o polinômio de Taylor vai ser:
Passo 3
No ponto , e .
Arrumando,
Agora o pulo do gato é entender o seguinte: como é muito pequeno, (e todas as potências seguintes que fossem aparecer) vão ser desprezíveis perto de , sacou? Por isso, a gente pode tirar todas as parcelas que vêm depois do ! Assim, a forma do fio seria descrita por:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)