Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.2 - Ex. 44
Seja
(a) Mostre que quando por qualquer caminho da forma passando por com .
(b) Apesar da parte (a), mostre que é descontínua em .
(c) Mostre que é descontínua em duas curvas inteiras.
Passo 1
Fala ai galerinha. Tudo tranquilo?
Antes de resolver vamos entende-la. Bora!
Para resolver a questão proposta, primeiro devemos entender a função definida no enunciado e como ela se comporta em diferentes regiões do plano xy. Em seguida, analisamos o comportamento de quando se aproxima de , considerando diferentes caminhos que convergem para esse ponto, e identificando se a função é contínua ou não.
Vamos começar!
Passo 2
(a) Galera, pra mostrar que que por qualquer caminho da forma , temos que verificar que esse caminho satisfaz a ou , quando está perto da origem.
Para definida como:
Considerando um caminho passando por , onde , substituímos na definição de .
Para , à medida que , se aproxima de zero mais rapidamente do que . Assim, também se aproxima de zero mais rapidamente do que . Portanto, quando , independentemente do valor de .
Passo 3
Apesar de quando ao longo de qualquer caminho da forma passando por com , a função é descontínua em .
Isso ocorre porque a definição de é diferente para menor ou igual a zero e para entre e . Em particular, quando , , mas quando , . Portanto, não é contínua em .
Passo 4
(c) Pessoal, se considerarmos as curvas e , elas meio que delimilitam as regiões onde e . Então, o valor muda abruptamente nessas curvas, o que faz ser descontínua nelas.
Uma curva que pode ser usada é .
Ao longo desta curva, para todos os valores de , o que significa que quando ao longo de .
Outra curva que pode ser usada é .
Ao longo desta curva, para todos os valores de , o que significa que quando ao longo de .
Portanto , é descontínua em duas curvas interiras: e .
Resposta
Demonstração