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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 45

Use a definição de derivadas parciais como limites (4) para encontrar f x ( x ,   y ) e f y ( x ,   y ) .

f x , y = x 2 y - x 3 y

Passo 1

Beleza, galera?! Vamos para mais uma resolução hoje, daquele jeito que eu sei que você gosta!!!!!

A gente tem aqui a função:

f x , y = x 2 y - x 3 y

E a gente quer descobrir suas derivadas parciais, porem a gente vai fazer isso utilizando a definição de derivadas parciais.

Como primeiro passo, vamos relembrar o conceito de derivada parcial de uma função usando limites:

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ f x + h , y - f x , y h

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ f x , y + h - f x , y h

Shoooow de bola! Agora é só aplicar essa definição na nossa função do enunciado. Partiu?

Passo 2

Agora que relembramos as definições de derivada parcial através do uso de limites, vamos fazer algumas continhas:

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ f x + h , y - f x , y h

Temos então que nossa função é:

f x , y = x 2 y - x 3 y

Encontrando o ponto f x + h , y = x + h 2 y - x + h 3 y :

Temos então:

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ x + h 2 y - x + h 3 y - x 2 y - x 3 y h

Realizando os produtos notáveis:

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ x 2 y + 2 x h y + h 2 y - x 3 y - 3 x 2 h y - 3 x h 2 y - h 3 y - x 2 y - x 3 y h

Realizando as simplificações:

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ 2 x h y + h 2 y - 3 x 2 h y - 3 x h 2 y - h 3 2 y h

Agora calculando os limites:

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ 2 x y + h y ⏟ → 0 - 3 x 2 y - 3 x h y ⏟ → 0 - h 2 y ⏟ → 0 = 2 x y - 3 x 2 y

Passo 3

Vamos calcular agora ∂ f ∂ y :

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ f x , y + h - f x , y h

Temos nossa função:

f x , y = x 2 y - x 3 y

Colocando o ponto que iremos utilizar:

f x , y + h = x 2 y + h - x 3 y + h

Colocando então na equação:

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ x 2 y + h - x 3 y + h - x 2 y - x 3 y h

Realizando as simplificações pos distributiva:

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ x 2 y + x 2 h - x 3 y - x 3 h - x 2 y - x 3 y h

Agora é hora de calcular o limite, simplificando o h :

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ x 2 h - x 3 h h

Calculando o limite:

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ x 2 - x 3 = x 2 - x 3

Resposta

∂ f ∂ x x , y = 2 x y - 3 x 2 y ;   ∂ f ∂ y x , y = x 2 - x 3

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Use a definição de derivadas parciais como limites (4) para encontrar f x ( x ,y ) e f y ( x ,y ) . f x , y = x x + y 2
Se f x , y = x 3 + y 3 3 , determine f x ( 0,0 ) .
95. Seja f x , y = x 3 y - x y 3 x 2 + y 2 s ex , y ≠ 0,0 0 s ex , y = 0,0 (c) Determine f x 0,0 e f y 0,0 usando as Equações 2 e 3.
Seja f x , y = x 3 y - x y 3 x 2 + y 2 s ex , y ≠ 0,0 0 s ex , y = 0,0 d) Mostre que f x y 0,0 = - 1 e f y x 0,0 = 1 .
Determine f x e f y e faça os gráficos f ,f xef y com domínios e pontos de vista que lhe permitam ver a relação entre eles. f x , y = x 2 y 3