Seja f defninda em R^2 , diferenciável em (0,0) e tal que f(tx, ty) = t * f(x, y) para todo t ∈ R e todo (x, y) ∈ R^2 . Prove que f é linear, isto é, que existem reais a e b tais que f(x, y) = a*x + b*y .

Passo 1

Perceba que para cada x , y fixo, d d t f t x , t y ​ t = 0 =     f x , y .

Ou seja, pela questão 27

x ∂ f ∂ x 0,0 + y   ∂ f ∂ y 0,0 = f x , y

Basta tomar a = ∂ f ∂ x 0,0     e b =   ∂ f ∂ y 0,0   .

Daí,

f x , y =   a x + b y  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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23. Suponha que, para todo (x , y) , f (x , y , x^2 + y^2) = 0 . Mostre que (del f)/(del x) (1,1 , 2) = (del f)/(del y) ( 1,1 , 2 )
11. Seja z = f(u - v, v - u) . Verifique que∂z/∂u + ∂z/∂v = 0
Mostre que a função de produção de Cobb-Douglas P = b * L^α * K^β satisfaz a equaçãoL(P) / L + K(P) / K = (α + β)P
Use a derivação implícita para encontrar ∂z/∂x e ∂z/∂y .x^2 - y^2 + z^2 - 2z = 4
A equação de van der Waals para n mols de um gás é P + n 2 a V 2 V - n b = n R T onde P é a pressão, V é o volume e T é a temperatura. A constante R é a constante universal de gás e a e b são constant