Seja f defninda em R^2 , diferenciável em (0,0) e tal que f(tx, ty) = t * f(x, y) para todo t ∈ R e todo (x, y) ∈ R^2 . Prove que f é linear, isto é, que existem reais a e b tais que f(x, y) = a*x + b*y .

Passo 1

Perceba que para cada x , y fixo, d d t f t x , t y ​ t = 0 =     f x , y .

Ou seja, pela questão 27

x ∂ f ∂ x 0,0 + y   ∂ f ∂ y 0,0 = f x , y

Basta tomar a = ∂ f ∂ x 0,0     e b =   ∂ f ∂ y 0,0   .

Daí,

f x , y =   a x + b y  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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