Seja ϕ(u) uma função diferenciável qualquer. A função f(x, y) = x^2 * φ(x/y) verifica a relação de Euler x * (∂f/∂x) + y * (∂f/∂y) = 2f ? Por quê?

Passo 1

Para provar a relação de Euler, vamos substituir a função f x , y na relação de Euler:

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = 2 f

Utilizando a regra da cadeia:

x ∂ f ∂ u ∙ ∂ u ∂ x + y ∂ f ∂ u ∙ ∂ u ∂ y = 2 f

Onde u = x / y .

x ∂ x 2 ϕ x y ∂ x + y ∂ x 2 ϕ x y ∂ y = 2 ∙ x 2 ϕ x y

Passo 2

Aplicando a regra do produto da derivada:

x 2 x ϕ x y + x 2 ∂ ϕ x y ∂ x ∙ 1 y + y x 2 ∂ ϕ x y ∂ y ∙ - x y 2 = 2 x 2 ϕ x y

2 x 2 ϕ x y + x 3 y ∂ ϕ x y ∂ x - x 3 y ∂ ϕ x y ∂ y = 2 x 2 ϕ x y

Como a função ϕ é de uma única variável:

∂ ϕ x y ∂ x = ∂ ϕ x y ∂ y

Portanto,

2 x 2 ϕ x y = 2 x 2 ϕ x y

Prontinho!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f(x, y) definida e diferenciável na bola aberta A . Suponha que f verifica em A a relação de Eulerx * (∂f / ∂x)(x, y) + y * (∂f / ∂y)(x, y) = λf(x, y) Prove f é homogênea de grau lambda .(Sugestã
Determine uma família de funções que verifiquem a equação x * (∂f / ∂x) + y * (∂f / ∂y) = 0 .
f(x, y) = (e^(x/y) + arctan(x/y) + sen(cos(x/y))) / raiz(x^3 + y^3) verifica a equação x * (∂f/∂x) + y * (∂f/∂y) = -f ? Por quê?
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