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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 28

Seja ϕ u uma função diferenciável qualquer. A função f x , y = x 2 ϕ x y verifica a relação de Euler x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = 2 f ? Por quê?

Passo 1

Para provar a relação de Euler, vamos substituir a função f x , y na relação de Euler:

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = 2 f

Utilizando a regra da cadeia:

x ∂ f ∂ u ∙ ∂ u ∂ x + y ∂ f ∂ u ∙ ∂ u ∂ y = 2 f

Onde u = x / y .

x ∂ x 2 ϕ x y ∂ x + y ∂ x 2 ϕ x y ∂ y = 2 ∙ x 2 ϕ x y

Passo 2

Aplicando a regra do produto da derivada:

x 2 x ϕ x y + x 2 ∂ ϕ x y ∂ x ∙ 1 y + y x 2 ∂ ϕ x y ∂ y ∙ - x y 2 = 2 x 2 ϕ x y

2 x 2 ϕ x y + x 3 y ∂ ϕ x y ∂ x - x 3 y ∂ ϕ x y ∂ y = 2 x 2 ϕ x y

Como a função ϕ é de uma única variável:

∂ ϕ x y ∂ x = ∂ ϕ x y ∂ y

Portanto,

2 x 2 ϕ x y = 2 x 2 ϕ x y

Prontinho!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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