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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 29

f (x , y) = (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y)))/(root(3)(x^3 + y^3)) verifica a equação x (del f)/(del x) + y (del f)/(del y) = - f ? Por quê?

Passo 1

Para provar a relação de Euler, vamos substituir a função f (x , y) na relação de Euler:

x (del f)/(del x) + y (del f)/(del y) = 2 f

x (del ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y)))/(root(3)(x^3 + y^3))))/(del x) + y (del ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y)))/(root(3)(x^3 + y^3))))/(del y) = - ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y)))/(root(3)(x^3 + y^3)))

Passo 2

Vamos aplicar agora a regra do quociente da derivada. Como a equação é grande, vamos resolve-las por parte. Derivando o primeiro termo:

x (((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y)))^' root(3)(x^3 + y^3) - (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))) (root(3)(x^3 + y^3))^')/((root(3)(x^3 + y^3))^2))

x (((e^((x)/(y)) ((x)/(y))^' arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) (arctan (x)/(y))^' ((x)/(y))^' + cos (cos (x)/(y)) (cos (x)/(y))^' ((x)/(y))^') root(3)(x^3 + y^3))/((x^3 + y^3)^((2)/(3))) - ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))) ((1)/(3) (x^3 + y^3)^(- (2)/(3)) (x^3 + y^3)^'))/((x^3 + y^3)^((2)/(3))))

x ((((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y))/(y) + (e^((x)/(y)) ((1)/(1 + ((x)/(y))^2)))/(y) + (cos (cos (x)/(y)) (- sin (x)/(y)))/(y)))/(root(3)(x^3 + y^3)) - ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))) ((1)/(3) (3 x^2)))/((x^3 + y^3)^((4)/(3))))

x (((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) ((y^2)/(y^2 + x^2)) - cos (cos (x)/(y)) (sin (x)/(y))))/(y root(3)(x^3 + y^3)) - (x^2 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3))))

((x (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) ((y^2)/(y^2 + x^2)) - cos (cos (x)/(y)) (sin (x)/(y))))/(y root(3)(x^3 + y^3)) - (x^3 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3))))

Passo 3

Derivando agora o segundo termo:

y (((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y)))^' root(3)(x^3 + y^3) - (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))) (root(3)(x^3 + y^3))^')/((root(3)(x^3 + y^3))^2))

y (((e^((x)/(y)) ((x)/(y))^' arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) (arctan (x)/(y))^' ((x)/(y))^' + cos (cos (x)/(y)) (cos (x)/(y))^' ((x)/(y))^') root(3)(x^3 + y^3))/((x^3 + y^3)^((2)/(3))) - ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))) ((1)/(3) (x^3 + y^3)^(- (2)/(3)) (x^3 + y^3)^'))/((x^3 + y^3)^((2)/(3))))

y (((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) (- (x)/(y^2)) + e^((x)/(y)) ((1)/(1 + ((x)/(y))^2)) (- (x)/(y^2)) + cos (cos (x)/(y)) (- sin (x)/(y)) (- (x)/(y^2))))/(root(3)(x^3 + y^3)) - ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))) ((1)/(3) (3 y^2)))/((x^3 + y^3)^((4)/(3))))

y ((- x (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) ((y^2)/(y^2 + x^2)) - cos (cos (x)/(y)) (sin (x)/(y))))/(y^2 root(3)(x^3 + y^3)) - (y^2 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3))))

((- x (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) ((y^2)/(y^2 + x^2)) - cos (cos (x)/(y)) (sin (x)/(y))))/(y root(3)(x^3 + y^3)) - (y^3 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3))))

Passo 4

Juntando agora os dois primeiros termos:

((x (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) ((y^2)/(y^2 + x^2)) - cos (cos (x)/(y)) (sin (x)/(y))))/(y root(3)(x^3 + y^3)) - (x^3 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3))))

+ ((- x (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) ((y^2)/(y^2 + x^2)) - cos (cos (x)/(y)) (sin (x)/(y))))/(y root(3)(x^3 + y^3)) - (y^3 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3))))

- (x^3 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3))) - (y^3 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3)))

Colocando em evidência:

(- (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3))) (x^3 + y^3) = - ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/(root(3)(x^3 + y^3))

Agora, vamos comparar com o lado esquerdo da relação de Euler:

- ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/(root(3)(x^3 + y^3)) = - ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y)))/(root(3)(x^3 + y^3))) = - f

Protinho!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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