f(x, y) = (e^(x/y) + arctan(x/y) + sen(cos(x/y))) / raiz(x^3 + y^3) verifica a equação x * (∂f/∂x) + y * (∂f/∂y) = -f ? Por quê? Passo 1Para provar a relação de Euler, vamos substituir a função f (x , y) na relação de Euler: x (del f)/(del x) + y (del f)/(del y) = 2 f x (del ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y)))/(root(3)(x^3 + y^3))))/(del x) + y (del ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y)))/(root(3)(x^3 + y^3))))/(del y) = - ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y)))/(root(3)(x^3 + y^3))) Passo 2Vamos aplicar agora a regra do quociente da derivada. Como a equação é grande, vamos resolve-las por parte. Derivando o primeiro termo: x (((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y)))^' root(3)(x^3 + y^3) - (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))) (root(3)(x^3 + y^3))^')/((root(3)(x^3 + y^3))^2)) x (((e^((x)/(y)) ((x)/(y))^' arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) (arctan (x)/(y))^' ((x)/(y))^' + cos (cos (x)/(y)) (cos (x)/(y))^' ((x)/(y))^') root(3)(x^3 + y^3))/((x^3 + y^3)^((2)/(3))) - ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))) ((1)/(3) (x^3 + y^3)^(- (2)/(3)) (x^3 + y^3)^'))/((x^3 + y^3)^((2)/(3)))) x ((((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y))/(y) + (e^((x)/(y)) ((1)/(1 + ((x)/(y))^2)))/(y) + (cos (cos (x)/(y)) (- sin (x)/(y)))/(y)))/(root(3)(x^3 + y^3)) - ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))) ((1)/(3) (3 x^2)))/((x^3 + y^3)^((4)/(3)))) x (((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) ((y^2)/(y^2 + x^2)) - cos (cos (x)/(y)) (sin (x)/(y))))/(y root(3)(x^3 + y^3)) - (x^2 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3)))) ((x (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) ((y^2)/(y^2 + x^2)) - cos (cos (x)/(y)) (sin (x)/(y))))/(y root(3)(x^3 + y^3)) - (x^3 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3)))) Passo 3Derivando agora o segundo termo: y (((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y)))^' root(3)(x^3 + y^3) - (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))) (root(3)(x^3 + y^3))^')/((root(3)(x^3 + y^3))^2)) y (((e^((x)/(y)) ((x)/(y))^' arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) (arctan (x)/(y))^' ((x)/(y))^' + cos (cos (x)/(y)) (cos (x)/(y))^' ((x)/(y))^') root(3)(x^3 + y^3))/((x^3 + y^3)^((2)/(3))) - ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))) ((1)/(3) (x^3 + y^3)^(- (2)/(3)) (x^3 + y^3)^'))/((x^3 + y^3)^((2)/(3)))) y (((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) (- (x)/(y^2)) + e^((x)/(y)) ((1)/(1 + ((x)/(y))^2)) (- (x)/(y^2)) + cos (cos (x)/(y)) (- sin (x)/(y)) (- (x)/(y^2))))/(root(3)(x^3 + y^3)) - ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))) ((1)/(3) (3 y^2)))/((x^3 + y^3)^((4)/(3)))) y ((- x (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) ((y^2)/(y^2 + x^2)) - cos (cos (x)/(y)) (sin (x)/(y))))/(y^2 root(3)(x^3 + y^3)) - (y^2 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3)))) ((- x (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) ((y^2)/(y^2 + x^2)) - cos (cos (x)/(y)) (sin (x)/(y))))/(y root(3)(x^3 + y^3)) - (y^3 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3)))) Passo 4Juntando agora os dois primeiros termos: ((x (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) ((y^2)/(y^2 + x^2)) - cos (cos (x)/(y)) (sin (x)/(y))))/(y root(3)(x^3 + y^3)) - (x^3 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3)))) + ((- x (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + e^((x)/(y)) ((y^2)/(y^2 + x^2)) - cos (cos (x)/(y)) (sin (x)/(y))))/(y root(3)(x^3 + y^3)) - (y^3 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3)))) - (x^3 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3))) - (y^3 (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3))) Colocando em evidência: (- (e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/((x^3 + y^3)^((4)/(3))) (x^3 + y^3) = - ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/(root(3)(x^3 + y^3)) Agora, vamos comparar com o lado esquerdo da relação de Euler: - ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y))))/(root(3)(x^3 + y^3)) = - ((e^((x)/(y)) arctan (x)/(y) + sin (cos (x)/(y)))/(root(3)(x^3 + y^3))) = - f Protinho!!!RespostaEi, a resposta está no passo a passo :)MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionados19. f(t) e g(x, y) são funções diferenciáveis tais que g(t, f(t)) = 0 , para todo t . Suponha f(0) = 1 , ∂g/∂x(0,1) = 2 e ∂g/∂y(0,1) = 4 . Determine a equação da reta tangente a γ(t) = (t, f(t)) , no 4. Suponha que, para todo t , f(t^2, 2t) = t^3 - 3t . mostre que ∂f/∂x|_(1,2) = - ∂f/∂y|_(1,2)16. Seja z = u f (u - v , u + v) . Verifique queu (del z)/(del u) + u (del z)/(del v) = z + 2 u^2 (del f)/(del y)Calcule d z d t pelos dois processos descritos no exemplo 2 . z = s e n ( x y ) , x = 3 t , y = t 212. Considere a função F (x , y) = f ((x)/(y) , (y)/(x)) . Mostre quex (del F)/(del x) + y (del F)/(del v) = 0Ver TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre Funções de Várias VariáveisLista de exercícios de Derivação ImplícitaVer exercício 10.1 - 34Ver exercício 11.3 - 15