Seja f x , y =   x 3 x 2 + y 2 0 ,   s e   x , y = ( 0,0 ) ,   s e   x , y ≠ ( 0,0 )

  1. Verifique que f t x ,   t y = t f x , y , para todo x e y .
  2. Olhe para a questão e responda: f é diferenciável em ( 0,0 ) ?Por quê ?

Passo 1

Vamos por partes, beleza? Ou seja, vamos fazer primeiro o item a e dpois b. Simbora, homi!

Como desejamos mostrar para quaisquer x e y , temos que verificar no casos em que a função esta repartida, ou seja:

  1. Se x , y = ( 0,0 )
  2. f t ⋅ 0 ,   t ⋅ 0 = t ⋅ 0 = t f 0 ,   0

  3. Se x , y ≠ ( 0,0 )

f t x ,   t y = t 3 ⋅ x 3 t 2 y 2 + t 2 x 2 = t 2 ⋅ t ⋅ x 3 t 2 y 2 + x 2 = t ⋅ x 3 y 2 + x 2 = t ⋅ f x ,   y

Passo 2

f não é diferenciável em 0,0 , pois se observarmos, não conseguiremos adaptar essa função para uma função linear, já que suas derivadas parciais em 0,0 são nulas, então pela contrapositiva da questão anterior, como f é 1-homogenea, segue que não é diferenciável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

10. Seja z = f(u + 2v, u^2 - v) . Expresse ∂z / ∂u e ∂z / ∂v em termo de derivadas parciais de f
20. f(x, y, z) e g(x, y) são funções diferenciáveis tais que, para todo (x, y) no domínio de g . f(x, y, g(x, y)) = 0 . Suponha g(1,1) = 3 , ∂f/∂x|1,1,3 = 2 , ∂f/∂y(1,1, 3) = 5 e ∂f/∂z | 1,1,3 = 10 .
22. Seja g(x, y) = x * f(x^2 + y, 2y, 2x - y) . Expresse ∂g / ∂x e ∂g / ∂y em termos das derivadas parciais de f
15. Seja g dada por g(t) = f(x, y) * sen(3t) , onde x = 2t e y = 3t . Verifique queg'(t) = 3 * f(x, y) * cos(3t) + sen(3t) [ 2 * ( ∂f/∂x (x, y) + 3 * ∂f/∂y (x, y)) ]
5. Suponha que, para todo x , f 3 x ,x 3 = a r c t g x . a) Calcule ∂ f ∂ x 3,1 admitindo ∂ f ∂ y 1,3 = 2 b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 3 ,1 ,f 3,1