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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 33

Seja f x , y =   x 3 x 2 + y 2 0 ,   s e   x , y = ( 0,0 ) ,   s e   x , y ≠ ( 0,0 )

  1. Verifique que f t x ,   t y = t f x , y , para todo x e y .
  2. Olhe para a questão e responda: f é diferenciável em ( 0,0 ) ?Por quê ?

Passo 1

Vamos por partes, beleza? Ou seja, vamos fazer primeiro o item a e dpois b. Simbora, homi!

Como desejamos mostrar para quaisquer x e y , temos que verificar no casos em que a função esta repartida, ou seja:

  1. Se x , y = ( 0,0 )

    2. f t ⋅ 0 ,   t ⋅ 0 = t ⋅ 0 = t f 0 ,   0

  2. Se x , y ≠ ( 0,0 )

f t x ,   t y = t 3 ⋅ x 3 t 2 y 2 + t 2 x 2 = t 2 ⋅ t ⋅ x 3 t 2 y 2 + x 2 = t ⋅ x 3 y 2 + x 2 = t ⋅ f x ,   y

Passo 2

f não é diferenciável em 0,0 , pois se observarmos, não conseguiremos adaptar essa função para uma função linear, já que suas derivadas parciais em 0,0 são nulas, então pela contrapositiva da questão anterior, como f é 1-homogenea, segue que não é diferenciável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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10. Seja z = f ( u + 2 v ,u 2 - v ) . Expresse ∂ z ∂ ue∂ z ∂ v em termo de derivadas parciais de f
20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
22. Seja g x , y = x f ( x 2 + y , 2 y ,2 x - y ) . Expresse ∂ g ∂ x e ∂ g ∂ y em termos das derivadas parciais de f
15. Seja g dada por g t = f x , y s e n ( 3 t ) , onde x = 2 t e y = 3 t . Verifique que g ' t = 3 f x , y cos ⁡ 3 t + s e n 3 t 2 ∂ f ∂ x x , y + 3 ∂ f ∂ y x , y
5. Suponha que, para todo x , f 3 x ,x 3 = a r c t g x . a) Calcule ∂ f ∂ x 3,1 admitindo ∂ f ∂ y 1,3 = 2 b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 3 ,1 ,f 3,1