Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 27
Seja definida e diferenciável na bola aberta . Suponha que verifica em a relação de Euler
Prove é homogênea de grau .
(Sugestão. Mostre que é constante.)
Passo 1
Vamos considerar que para cada em , consideramos a função:
Derivando a função :
Pela regra da cadeia:
Passo 2
Substituindo na equação da derivada de :
Como é uma constante:
Assim,
Fim!!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que
Seja f defninda em R 2 , diferenciável em ( 0,0 ) e tal que f t x , t y = t f ( x , y ) para todo t ∈ R e todo x , y ∈ R 2 . Prove que f é linear, isto é, que existem reais a e b tais que f x , y = a
Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f, sendo z = f x , y ea) x = t 2ey = 3 t .
Seja g t = f 3 t , 2 t 2 - 1 . a) Expresse g ' t em termos das derivadas parciais de f.b) Calcule g ' t admitindo ∂ f ∂ x 0 , - 1 = 1 3 .
Admita que, para todo x , y . x ∂ f ∂ x x , y - y ∂ f ∂ y x , y = 0 . Mostre que g t = f t , 2 t ,t0 , é constante.