Suponha f(x, y) diferenciável no aberto A e homogênea de grau lambda . Prove que ∂f / ∂x é homogêna de grau λ - 1 , isto é, que ∂f/∂x | tx, ty = t^(λ-1) ∂f/∂x | x, y para todo t > 0 , e para todo (x, y) em A com (t_x, t_y) ∈ A .

(Sugestão. Derive em relação a x os dois membros de f(t x, t y) = t^λ f(x, y) .)

Passo 1

Para provar que ∂ f ∂ x é homogênea de grau λ - 1 , vamos derivar as funções:

∂ f ∂ x t x , t y = ∂ t λ f x , y ∂ x

Aplicando a regra da cadeia:

∂ f ∂ x t x , t y ∙ ∂ t x ∂ x = ∂ t λ f x , y ∂ x

Passo 2

Derivando dos dois lados:

∂ f ∂ x t x , t y ∙ t = t λ ∂ f ∂ x x , y

∂ f ∂ x t x , t y = t λ t ∂ f ∂ x x , y

∂ f ∂ x t x , t y = t λ - 1 ∂ f ∂ x x , y

Fim!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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