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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 31

Suponha f x , y diferenciável no aberto A e homogênea de grau λ . Prove que ∂ f ∂ x é homogêna de grau λ - 1 , isto é, que ∂ f ∂ x t x , t y = t λ - 1 ∂ f ∂ x x , y para todo t > 0 , e para todo x , y em A com t x , t y ∈ A .

(Sugestão. Derive em relação a x os dois membros de f t x , t y = t λ f x , y .)

Passo 1

Para provar que ∂ f ∂ x é homogênea de grau λ - 1 , vamos derivar as funções:

∂ f ∂ x t x , t y = ∂ t λ f x , y ∂ x

Aplicando a regra da cadeia:

∂ f ∂ x t x , t y ∙ ∂ t x ∂ x = ∂ t λ f x , y ∂ x

Passo 2

Derivando dos dois lados:

∂ f ∂ x t x , t y ∙ t = t λ ∂ f ∂ x x , y

∂ f ∂ x t x , t y = t λ t ∂ f ∂ x x , y

∂ f ∂ x t x , t y = t λ - 1 ∂ f ∂ x x , y

Fim!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente pelo sistema u = x 2 + y 2 v = x y a) Expresse ∂ x ∂ u e ∂ y ∂ u em termos de x e y .b) Determine um par de funções x = x ( u , v ) e y
Sejam x = x ( y , z ) , y = y ( x , z ) e z = z x , y definidas implicitamente pela equação F x , y , z = 0 . Suponha x 0 = x ( y 0 , z 0 ) , y 0 = y ( x 0 , z 0 ) , z 0 = z ( x 0 , y 0 ) e que no pon
Calcule:a) ∂ F , G ∂ x , y sendo F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 e G x , y , z = x + y + z .b) ∂ u , v ∂ ( y , z ) sendo u = x y z e v = x 3 + y 2 .c) ∂ x , y ∂ ( r , s ) sendo x = r + 3 s + t 2 e y = r
Sejam x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente pelo sistema x 2 + u y 2 = v x + y 2 = u a) Expresse ∂ x ∂ u em termos de x , y e u .b) Determine um par de funções x = x ( u , v ) e y