Determine uma família de funções que verifiquem a equação x * (∂f / ∂x) + y * (∂f / ∂y) = 0 .

Passo 1

Para descobrir a família de funções que prova a equação vamos mexer na equação:

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = 0

x ∂ f ∂ x = - y ∂ f ∂ y

- x y ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y

Passo 2

Vamos agora fazer alguns testes para resolver a equação acima. Se f for uma função que dependa apenas de x :

- x y ∂ f x ∂ x = ∂ f x ∂ y

∂ f x ∂ x = - y x ∙ 0 = 0

Assim, f não pode depender apenas de x nem de y , pois a derivada parcial em função da outra variável vai zerar. Portanto, precisamos de uma função f ( x n ∙ y m ) , logo:

- x y ∂ f x n ∙ y m ∂ x = ∂ f x n ∙ y m ∂ y

- x y n ∙ x n - 1 y m = x n m y m - 1

Como m e n são constantes:

- n m ∙ x n y m = x n y m

Para isso ser verdade, n m = - 1 :

n m = - 1

n = - m

Logo,

x n y - n = x n y - n

f x , y = ϕ x y

Resposta

f x , y = ϕ x y

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