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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 30

Determine uma família de funções que verifiquem a equação x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = 0 .

Passo 1

Para descobrir a família de funções que prova a equação vamos mexer na equação:

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = 0

x ∂ f ∂ x = - y ∂ f ∂ y

- x y ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y

Passo 2

Vamos agora fazer alguns testes para resolver a equação acima. Se f for uma função que dependa apenas de x :

- x y ∂ f x ∂ x = ∂ f x ∂ y

∂ f x ∂ x = - y x ∙ 0 = 0

Assim, f não pode depender apenas de x nem de y , pois a derivada parcial em função da outra variável vai zerar. Portanto, precisamos de uma função f ( x n ∙ y m ) , logo:

- x y ∂ f x n ∙ y m ∂ x = ∂ f x n ∙ y m ∂ y

- x y n ∙ x n - 1 y m = x n m y m - 1

Como m e n são constantes:

- n m ∙ x n y m = x n y m

Para isso ser verdade, n m = - 1 :

n m = - 1

n = - m

Logo,

x n y - n = x n y - n

f x , y = ϕ x y

Resposta

f x , y = ϕ x y

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Admita que, para todo ( x , y ) , 4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 2 . Calculeg ' t , sendo g t = f 2 c o s t , s e n t .
A imagem da curva γ t = 2 t , t 2 , z t está contida no gráfico de z = f x , y . Sabe-se que f 2,1 = 3 , ∂ f ∂ x 2,1 = 1e ∂ f ∂ y 2,1 = - 1 . Determine a equação da reta tangente a γ no ponto γ ( 1 )
Admita que, para todo (x,y), 4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 0 . Prove que f é constante sobre a elipse x 2 4 + y 2 = 1 . (Sugestão. Observe que a função g do exercício anterior fornece os valor
14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .