Seja g(x) = log_a(x) , em que a > 0 e a != 1 é constante. Mostre que g'(x) = 1 / (x \* ln(a)) .

Passo 1

Temos que para qualquer x do domínio de g , a derivada de g em x é:

g ' x = lim h → 0 ⁡ g x + h - g x h = lim h → 0 ⁡ log a ⁡ x + h - log a ⁡ x h

Como log a ⁡ m - log a ⁡ n = log a ⁡ m n , temos:

g ' x = lim h → 0 ⁡ log a ⁡ x + h - log a ⁡ x h = lim h → 0 ⁡ log a ⁡ 1 + h x h

Como n log a ⁡ m = log a ⁡ m n , temos:

g ' x = lim h → 0 ⁡ log a ⁡ 1 + h x h = lim h → 0 ⁡ log a ⁡ 1 + h x 1 h

Passo 2

Vamos chamar de w = x h , de modo que, se h tende a zero, w tende ao infinito positivo:

g ' x = lim h → 0 ⁡ log a ⁡ 1 + h x 1 h = lim w → ∞ ⁡ log a ⁡ 1 + 1 w w x = lim w → ∞ ⁡ 1 x log a ⁡ 1 + 1 w w

Como sabemos que lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x x = e , temos:

g ' x = lim w → ∞ ⁡ 1 x log a ⁡ 1 + 1 w w = 1 x ⋅ log a ⁡ e

Passo 3

Por propriedade da mudança de base no logaritmo, temos que log b ⁡ x = log k ⁡ x log k ⁡ b , então, podemos reescrever log a ⁡ e como:

log a ⁡ e = log e ⁡ e log e ⁡ a = 1 ln ⁡ a

Então:

g ' x = 1 x ⋅ log a ⁡ e = 1 x ⋅ 1 ln ⁡ a

Assim, provamos que:

g ' x = 1 x ln ⁡ a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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