Seja f(x) = x^5 + x^3 + x

  1. Mostre que f é injetora e confirme que f(1) = 3.
  2. Encontre f^(-1)'(3)

Passo 1

Relembrando alguns conceitos: sabemos que uma função é injetora quando se os elementos diferentes do domínio tiver imagens diferentes .

Além disso, se em um determinado intervalo a função for completamente contínua ou descontínua, significa que essa função pode ser chamada de injetora.

A forma de determinar se uma função é ou não injetora é calculando sua derivada. E se:

f ' x > 0

Ou f ' x < 0

Se a função zera em algum ponto, pode não ser injetora.

Passo 2

Agora, calculamos a derivada da função:

f x = x 5 + x 3 + x

f ' x = 5 x 4 + 3 x 2 + 1 > 0

A função cresce no intervalo de ( 0 , + ∞ ) , isso significa que a função é injetora.

Agora calculando a função em x = 1 :

f x = x 5 + x 3 + x

f 1 = 1 5 + 1 3 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

f 1 = 3

Passo 3

Se a função for diferenciável e injetora,então podemos calcular f - 1 , utilizando a fórmula :

( f - 1 ) ' ( x ) = 1 f ' ( f - 1 x )

Aplicando na fórmula:

( f - 1 ) ' ( 1 ) = 1 5 x 4 + 3 x 2 + 1 = 1 9

Resposta

  1. Injetora, f 1 = 3 .
  2. ( f - 1 ) ' ( 1 ) = 1 9
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