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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 1

Seja f x = x 5 + x 3 + x .

  1. Mostre que f   é injetora e confirme que f 1 = 3 .
  2. Encontre f - 1 ' 3 .

Passo 1

Relembrando alguns conceitos: sabemos que uma função é injetora quando se os elementos diferentes do domínio tiver imagens diferentes .

Além disso, se em um determinado intervalo a função for completamente contínua ou descontínua, significa que essa função pode ser chamada de injetora.

A forma de determinar se uma função é ou não injetora é calculando sua derivada. E se:

f ' x > 0

Ou f ' x < 0

Se a função zera em algum ponto, pode não ser injetora.

Passo 2

Agora, calculamos a derivada da função:

f x = x 5 + x 3 + x

f ' x = 5 x 4 + 3 x 2 + 1 > 0

A função cresce no intervalo de ( 0 , + ∞ ) , isso significa que a função é injetora.

Agora calculando a função em x = 1 :

f x = x 5 + x 3 + x

f 1 = 1 5 + 1 3 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

f 1 = 3

Passo 3

Se a função for diferenciável e injetora,então podemos calcular f - 1 , utilizando a fórmula :

( f - 1 ) ' ( x ) = 1 f ' ( f - 1 x )

Aplicando na fórmula:

( f - 1 ) ' ( 1 ) = 1 5 x 4 + 3 x 2 + 1 = 1 9

Resposta

  1. Injetora, f 1 = 3 .
  2. ( f - 1 ) ' ( 1 ) = 1 9
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Nos Exercícios de 11 a 28, ache ( f - 1 ) ' ( d ) 24. f x = x 2 - 6 x + 7 ,x ≤ 3 ; d = 0
Ache( f - 1 ) ' d . Sendo F(x) = x 5 + x - 22 ; d = 12
Ache( f - 1 ) ' d . Sendo F(x) = 8 x 3 + 6 x ; d = 4
Ache( f - 1 ) ' d . Sendo F(x) = 3 x + 4 ; d = 5
Ache( f - 1 ) ' d . Sendo F(x) = x² -6x +8 ; d = 3