Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada.

θ = π 4

Passo 1

E aí, pessoal! Tranquilidade?

Nesse exercício iremos analisar a equação:

θ = π 4

E descrever em palavras qual superfície a equação está descrevendo. Para isso vamos pensar nas coordenas cilíndricas r , θ e z . Se a gente entender o comportamento de cada uma dessas variáveis podemos imaginar o sólido descrito.

Vamos lá!

Passo 2

A questão nos deu para θ que:

θ = π 4

Mas não diz nada sobre r ou z . Então vamos imaginar que r e z assumem todos os valores possíveis.

A imagem traz um exemplo da localização de uma coordenada cilíndrica no espaço. Vemos ali que θ é um ângulo no plano x y medido em relação ao eixo x .

Olhando os valores de r , como o exercício não trouxe informação nem restrições sobre r ela assume todos os valores possíveis.

O mesmo acontece com z , então vamos imaginar que nossa superfície tem extensão infinita na dimensão z e em r também.

Temos para as coordenadas cilíndricas a equação:

t a n   θ = y x

Então, teremos:

t a n π 4 = y x

Calculando a tangente:

1 = y x

Então, podemos dizer que no plano x y essa superfície tem a equação:

y = x

Como temos que θ = π / 4 , mas não temos nenhuma restrição sobre r e z , a superfície é um plano incluindo o eixo z e interceptando o plano x y na linha com inclinação θ = π / 4 .

Resposta

a superfície é o plano y = x   incluindo o eixo z e interceptando o plano x y na linha com inclinação θ = π / 4

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