Calcule ∬ S r o tF ⋅ n d s , onde F x , y , z = ( y , 2 x , x y z ) e S é a superfície lateral da pirâmide da figura 7.24 com normal n exterior a S .

Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.10 - Ex. 9

Calcule , onde e é a superfície lateral da pirâmide da figura 7.24 com normal exterior a .

Passo 1

Vamos lá resolver esse trem!!

Cara, pelo enunciado temos . Já a nossa superfície, é a lateral da pirâmide da figura 7.24 que está no livro, e ela tem o normal exterior a S, ou seja, apontado pra fora.

Poderíamos usar o Teorema de Stokes?! No caso, não! Não temos uma superfície fechada, pois a lateral da pirâmide não tem o fundo, então vamos adicionar o fundo nela! Daí, pelo Teorema de Stokes, teremos:

Nossa região S é composta pelos três lados da pirâmide, ou seja, . Daí:

Note que, a pirâmide tem orientação com normal exterior, mas, se mudarmos a sua orientação, teremos uma troca de sinal, daí:

Passo 2

Vamos lá, vamos fazer o rotacional do campo, daí:

Olha só, lembra que nosso normal está orientado “pra dentro” porque mudamos o sinal da integral?! Então, olha só o que vai acontecer na nossa integral agora que temos o rotacional:

Cara, nem precisamos parametrizar o plano, pois não teremos variáveis, ao fazer o produto dos dois vetores, teremos:

Ou seja, o resultado da nossa integral será a área de . é um fundo de uma pirâmide triangular, logo, tem formato triangular, assim, sua área é dada por:

Note que esse triângulo vai até 3 em e até 1 em , assim:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C . ∮ C ( y + z 3 x 2 ) d x + 2 z + 5 x + y 3 d y + 4 y + z cos ⁡ x d

Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C . ∮ C y + z d x + z + x d y + x + y d z = 0 Onde C é a interseção d

Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C . ∮ C 8 x - 2 y d x + y d y + 3 z d z = 4 3 Onde C é a fronteira do

Seja C a circunferência de raio a , no plano 2 x + 2 y + z = 4 , centrada no ponto 1 ; 2 ; - 2 . Se F x , y , z = y - x; z - x; x - y , determine o valor de a para que: ∮ C Fd r = - 8 3 π .

Calcule ∬ S r o t F →. n →d s Onde F x , y , z = x - x 2 z ; y z 3 - y 2 ; x 2 y - x z e S é qualquer superfície cuja borda seja uma curva fechada no plano x y .