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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.10 - Ex. 9

Calcule ∬ S r o t   F ⋅ n d s , onde F x , y , z = ( y , 2 x , x y z ) e S é a superfície lateral da pirâmide da figura 7.24 com normal n exterior a S .

Passo 1

Vamos lá resolver esse trem!!

Cara, pelo enunciado temos F x , y , z = ( y , 2 x , x y z ) . Já a nossa superfície, é a lateral da pirâmide da figura 7.24 que está no livro, e ela tem o normal exterior a S, ou seja, apontado pra fora.

Poderíamos usar o Teorema de Stokes?! No caso, não! Não temos uma superfície fechada, pois a lateral da pirâmide não tem o fundo, então vamos adicionar o fundo nela! Daí, pelo Teorema de Stokes, teremos:

∬ S ∪ S 4 r o t F ⋅ n d S = 0

Nossa região S é composta pelos três lados da pirâmide, ou seja, S = S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 . Daí:

∬ S ∪ S 4 r o t F ⋅ n d S = ∬ S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 r o t F ⋅ n d S + ∬ S 4 r o t F ⋅ n d S = 0

∬ S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 r o t F ⋅ n d S = - ∬ S 4 r o t F ⋅ n d S

Note que, a pirâmide tem orientação com normal exterior, mas, se mudarmos a sua orientação, teremos uma troca de sinal, daí:

∬ S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 r o t F ⋅ n d S = ∬ S 4 r o t F ⋅ n d S ,   c o m   n o r m a l   i n t e r i o r   k → = ( 0,0 , 1 )  

Passo 2

Vamos lá, vamos fazer o rotacional do campo, daí:

r o t   F = i j k δ δ x δ δ y δ δ z y 2 x x y z = x z - 0,0 - y z , 2 - 1 = ( x z , - y z , 1 )

Olha só, lembra que nosso normal está orientado “pra dentro” porque mudamos o sinal da integral?! Então, olha só o que vai acontecer na nossa integral agora que temos o rotacional:

∬ S 4 x z , - y z , 1 ⋅ 0,0 , 1 d S

Cara, nem precisamos parametrizar o plano, pois não teremos variáveis, ao fazer o produto dos dois vetores, teremos:

∬ S 4 1   d S

Ou seja, o resultado da nossa integral será a área de S 4 . S 4 é um fundo de uma pirâmide triangular, logo, tem formato triangular, assim, sua área é dada por:

A = b ⋅ h 2

Note que esse triângulo vai até 3 em y e até 1 em x , assim:

∬ S 4 1   d S = A t r i â n g u l o = b ⋅ h 2 = 3 ⋅ 1 2 = 3 2

Resposta

3 2

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