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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 6f

Calcule int int_B f (x , y) d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B f (x , y) d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = int int_B (1)/(ln y) d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) (1)/(ln y) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) (1)/(ln y) d y] d x

Além disso, o exercício dá os intervalos:

0 <= x <= (1)/(y)

E

2 <= y <= 3

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_2^3 [int_(x = 0)^(x = 1 // y) ((1)/(ln y)) d x] d y

F = int_2^3 [(x)/(ln y)] | [[x,=,1,//,y],[x,=,0]] d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

F = int_2^3 [(1)/(y ln y)] d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y através do método da substituição simples com u = ln y e d u = d y // y :

F = int_2^3 [(1)/(u)] d u

F = [ln u] | [[y,=,3],[y,=,2]]

Retornando à variável original:

F = [ln ( ln y )] | [[y,=,3],[y,=,2]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F = [ln ( ln 3 ) - ln ( ln 2 )]

Resposta

ln ( ln 3 ) - ln ( ln 2 )

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