Seja f(x) = (1 + x)^α , onde α ≠ 0 é um real dado. Determine o polinômio de Taylor, de ordem n , de f em volta de x_0 = 0 e dê a expressão do erro em termos da derivada de ordem n + 1 .

Passo 1

Bem, temos que o polinômio de Taylor dessa função é dado por:

P x = f x 0 +   f ' x x - x 0 + f ' ' x 2 !   x - x 0 2 + … + f n x 0 n !   x - x 0 n

Como a função é um polinômio temos que a enésima derivada é:

f n x = α α - 1 α - 2 … α - n + 1 1 + x ( α - n )

Assim, temos que o polinômio de Taylor é:

P x =   1 + α x + 1 2   α α + 1 x 2 + … + 1 n ! α α - 1 α - 2 … α - n + 1 x n

Bem, portanto o erro é:

E x = 1 n + 1 ! α α - 1 α - 2 … α - n 1 + x -   α - n x n

Resposta

E x = 1 n + 1 ! α α - 1 α - 2 … α - n 1 + x -   α - n x n

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