Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.16 - Ex. 1a

Determinar o polinômio de Taylor de ordem n , no ponto c dado, das seguintes funções:

f x = e x 2 ; c = 0   e   1 ; n = 5

Passo 1

O polinômio de Taylor de ordem n no ponto c é obtido assim:

P n x = f c + f ' c x - c + f ' ' c 2 ! x - c 2 + … + f n c n ! x - c n

A parte mais trabalhosa é essa de ter que calcular todas as derivadas, mas o aluno Responde Aí não tem medo de conta, então bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular todas as derivadas: não vou explicar passo a passo, mas com tudo que aprendemos até aqui vai ficar bem mastigadinho, fica tranquilo. Só não pode esquecer da regra da cadeia, ok? Vamos até a derivada de grau 5 , já que queremos o Taylor dessa ordem.

f x = e x 2

f ' x = 1 2 e x 2

f 2 ' x 2 ! = 1 2 × 1 4 e x 2

f 3 ' x 3 ! = 1 6 × 1 8 e x 2

f 4 ' x 4 ! = 1 24 × 1 16 e x 2

f 5 ' x 5 ! = 1 120 × 1 32 e x 2

Então o polinômio de Taylor vai ser:

P 5 x = e c 2 + 1 2 e c 2 x - c + 1 2 ×   4 e c 2 x - c 2 + 1 6 × 8 e c 2 x - c 3 + 1 24 × 16 e c 2 x - c 4 + 1 120 × 32 e c 2 x - c 5

Passo 3

No ponto c = 0 :

P 5 x = e 0 2 + 1 2 e 0 2 x - 0 + 1 2 ×   4 e 0 2 x - 0 2 + 1 6 × 8 e 0 2 x - 0 3 + 1 24 × 16 e 0 2 x - 0 4 + 1 120 × 32 e 0 2 x - 0 5

Arrumando,

P 5 x = 1 + x 2 + x 2 8 + x 3 48 + x 4 384 + x 5 3840

Passo 4

No ponto c = 1 :

P 5 x = e 1 2 + 1 2 e 1 2 x - 1 + 1 2 ×   4 e 1 2 x - 1 2 + 1 6 × 8 e 1 2 x - 1 3 + 1 24 × 16 e 1 2 x - 1 4 + 1 120 × 32 e 1 2 x - 1 5

Como todos os termos tem e 1 2 , vamos botar ele em evidência:

P 5 x = e 1 2 1 + x - 1 2 + x - 1 2 8 + x - 1 3 48 + x - 1 4 384 + x - 1 5 3840

Resposta

Em c = 0 :

P 5 x = 1 + x 2 + x 2 8 + x 3 48 + x 4 384 + x 5 3840

Em c = 1 :

P 5 x = e 1 2 1 + x - 1 2 + x - 1 2 8 + x - 1 3 48 + x - 1 4 384 + x - 1 5 3840

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22. Mostre que se 0 ≤ x ≤ 1 2 , s e nx = x - x 3 3 ! + R ( x ) onde R ( x )1 3.840
27. Use o método do exercício 26 para encontrar uma solução aproximada da equação c o t gx = m x quando m é positivo e próximo de zero.
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