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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 16

Verifique que a mudança de variáveis x = s c o s θ - t s e n ( θ ) , y = s sen ⁡ θ + t c o s ( θ ) com θ   constante , transforma a equação

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0     ( u = u ( x , y ) )

Em

∂ 2 u ∂ s 2 + ∂ 2 u ∂ t 2 = 0     ( u = u ( s , t ) )  

Passo 1

Inicialmente separaremos nosso problema em dois, ou seja, precisamos calcular derivadas parciais em relação a s e depois em relação a t . Dessa maneira, temos que em relação a s ,

∂ u ∂ s = ∂ u ( x , y ) ∂ x . ∂ x ∂ s + ∂ u ( x , y ) ∂ y . ∂ y ∂ s

= ∂ u ( x , y ) ∂ x cos ⁡ ( θ )

Assim,

∂ 2 u ∂ s 2 = ∂ x ∂ s ∂ u ( x , y ) ∂ x . cos ⁡ ( θ ) + ∂ u x , y ∂ x . 0

= ∂ x ∂ s ∂ u ( x , y ) ∂ x . cos ⁡ ( θ ) + 0

Pela regra do produto,

= ∂ x ∂ u ∂ z x , y ∂ x cos ⁡ ( θ ) + 0

Já que θ é constante,

Fazendo separadamente teremos,

∂ x ∂ s ∂ u x , y ∂ x = ∂ 2 u x , y ∂ x 2 ∂ x ∂ s + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x ∂ y ∂ s

= ∂ 2 u x , y ∂ x 2 cos ⁡ ( θ ) + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x . 0

= ∂ 2 u x , y ∂ x 2 cos ⁡ ( θ )

Logo,

∂ 2 u ∂ s 2 = ∂ 2 u x , y ∂ x 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ = ∂ 2 u x , y ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ

Passo 2

Calculando a derivada parcial em relação a t teremos,

∂ u ∂ t = ∂ u ( x , y ) ∂ x . ∂ x ∂ t + ∂ u ( x , y ) ∂ y . ∂ y ∂ t

= ∂ u ( x , y ) ∂ x . 0 + ∂ u ( x , y ) ∂ y sen ⁡ ( θ )

= 0 +   ∂ u ( x , y ) ∂ y sen ⁡ ( θ )

= ∂ u ( x , y ) ∂ y sen ⁡ ( θ )

Assim,

∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ y ∂ t ∂ u ( x , y ) ∂ y . sen ⁡ ( θ )

pela regra do produto,

= ∂ y ∂ t ∂ u ( x , y ) ∂ y sen ⁡ ( θ ) + ∂ u x , y ∂ y . 0

= ∂ x ∂ t ∂ u ( x , y ) ∂ y sen ⁡ ( θ ) + 0

Já que θ é constante.

Fazendo separadamente teremos,

∂ x ∂ t ∂ u x , y ∂ y = ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y ∂ x ∂ t + ∂ 2 u x , y ∂ y 2 ∂ y ∂ t

= ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y 0 + ∂ 2 u x , y ∂ y 2 s e n θ

= ∂ 2 u x , y ∂ y 2 sen ⁡ ( θ )

Logo,

∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ 2 u x , y ∂ y 2 sen ⁡ θ sen ⁡ θ = ∂ 2 u x , y ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ

Passo 3

Sendo assim,

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

∂ 2 u x , y ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + ∂ 2 u x , y ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ = 0

Por outro lado, quando derivarmos parcialmente u ( t , s ) em relação a s e a t , teremos

∂ u ( s , t ) ∂ s + ∂ u ( s , t ) ∂ t = cos ⁡ θ + s e n ( θ )

Dessa maneira,

∂ 2 u ( s , t ) ∂ s 2 + ∂ 2 u ( s , t ) ∂ t 2 = 0 + 0 = 0

Sendo assim,

∂ 2 u x , y ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + ∂ 2 u x , y ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ = 0 = ∂ 2 u ( s , t ) ∂ s 2 + ∂ 2 u ( s , t ) ∂ t 2

Isso significa que, a mudança de variáveis x = s c o s θ - t s e n ( θ ) , y = s sen ⁡ θ + t c o s ( θ ) com θ   constante , transforma uma equação na outra.

Resposta

∂ 2 u x , y ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + ∂ 2 u x , y ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ = ∂ 2 u ( s , t ) ∂ s 2 + ∂ 2 u ( s , t ) ∂ t 2

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