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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 40

Seja D a região no primeiro octante delimitada abaixo pelo

cone f = p/4 e acima pela esfera r = 3. Expresse o volume de

D como uma integral tripla iterada em coordenadas (a) cilíndricas e (b) esféricas. Em seguida, (c) encontre V

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja D a região no primeiro octante que é delimitada abaixo pelo cone ϕ = π 4 e acima pela esfera ρ = 3 . Expressaremos o volume da região D como uma integral iterada tripla ema. Coordenadas cilindricas;b. Coordenadas esféricas;c. Encontraremos então o volume V .

Passo 2

a. Com o uso da tabela, em coordenadas cilíndricas, a integral que representa o volume pedidoé:Resposta: ∫ 0 π / 2   ∫ 0 3 / 2   ∫ r 9 - r 2   d z r d r d θ

Passo 3

b. Com o uso da tabela, em coordenadas esféricas, a integral que representa o volume pedidoé:Resposta: ∫ 0 π / 2   ∫ 0 π / 4   ∫ 0 3   ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 4

c. Resolvendo a integral ∫ 0 π / 2   ∫ 0 π / 4   ∫ 0 3   ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ , encontramos que o volume V é:

V = ∫ 0 π / 2     ∫ 0 π / 4     ∫ 0 3     ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ V = 9 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 π / 4     s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ V = - 9 ∫ 0 2 π     1 2 - 1 d θ V = 9 π ( 2 - 2 ) 4

Resposta: o volume é V = 9 π ( 2 - 2 ) 4 .

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular ∭_T^() ( x^2 + y^2 + z^2 ) . d V , onde T é a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 .
Calcular ∭ T d V , onde T é a casca esférica delimitada por x 2 + y 2 + z 2 = 9 e x 2 + y 2 + z 2 = 16
Calcular ∭_T^() d V , onde T é a região delimitada por x^2 + y^2 + z^2 = a^2 , z = 0 e z= (sqrt(3))/(3) a .
Calcular ∭_T^() ( x^2 + y^2 + z^2 ) . d V , onde T é a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 e exterior ao cone z^2 = x^2 + y^2
Calcular ∭_T^() ( x ) . d V , onde T é a região limitada por x^2 + ( y - 3 )^2 + ( z - 3 )^2 = 9 .