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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 42

Expresse o momento de inércia Iz do hemisfério sólido x2 +

y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0, como uma integral iterada em coordenadas

(a) cilíndricas e (b) esféricas. Em seguida, (c) encontre Iz

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício expressaremos o momento de inércia I z do sólido hemisférico x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , z ≥ 0 como uma integral iterada ema. Coordenadas cilíndricas;b. Coordenadas esféricas;c. Encontraremos então o valor de I z .

Passo 2

a. Para o momento de inércia I z em coordenadas cilíndricas, usamos as tabelas de transformação. Assim, a integral é:

I z = ∫ 0 2 π   ∫ 0 1   ∫ 0 1 - r 2   r 2 d z r d r d θ

Passo 3

b. Para o momento de inércia I z em coordenadas esféricas, usamos as tabelas de transformação. Assim, a integral é:

I z = ∫ 0 2 π   ∫ 0 π / 2   ∫ 0 1   ρ 2 s e n 2 ⁡ ϕ ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Observação: lembre-se que:

r 2 = x 2 + y 2 r 2 = ρ 2 s e n 2 ⁡ ϕ c o s 2 ⁡ ϕ + ρ 2 s e n 2 ⁡ ϕ s e n 2 ⁡ ϕ r 2 = ρ 2 s e n 2 ⁡ ϕ

Passo 4

c. Resolvendo a integral I z = ∫ 0 2 π   ∫ 0 π / 2   ∫ 0 1   ρ 2 s e n 2 ⁡ ϕ ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ encontraremos o valor do momento de inércia. Dessa forma, temos:

I z = ∫ 0 2 π     ∫ 0 π / 2     ∫ 0 1     ρ 2 s e n 2 ⁡ ϕ ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ I z = ∫ 0 2 π     ∫ 0 π / 2     1 5 s e n 3 ⁡ ϕ d ϕ d θ I z = 1 5 ∫ 0 2 π     - s e n 2 ⁡ ϕ c o s ⁡ ϕ 3 0 2 π + 2 3 ∫ 0 π / 2     s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ I z = 2 15 ∫ 0 2 π     [ - c o s ⁡ ϕ ] 0 2 π d θ I z = 2 15 ( 2 π ) I z = 4 π 15

Resposta: o momento de inércia vale I z = 4 π 15 .

Resposta

Resposta nos passos.

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Calcular as seguintes integrais:int_(- 1)^1 int_0^(sqrt(1 - x^2)) int_0^(sqrt(1 - x^2 - y^2)) ( e^(x^2 + y^2 + z^2) ) d z . d y . d x
Calcular ∭_T^() ( sqrt(x^2 + y^2 + z^2) ) d V , onde T é a região delimitada por x^2 + y^2 + z^2 = 1 e x^2 + y^2 + z^2 = 4 .
Calcular ∭_T^() ( x^2 + y^2 ) d V , onde T é o sólido delimitado por 4 = x^2 + y^2 + z^2 = 9 .
Calcular as seguintes integrais:int_0^(sqrt(2)) int_0^(sqrt(2 - x^2)) int_0^(sqrt(2 - x^2 - y^2)) ((1)/(2 + x^2 + y^2 + z^2)) d z . d y . d x
Calcule o volume do elipsoide(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2) = 1