Seja f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 e seja γ t = x t , y t , z t uma curva diferenciável cuja imagem está contida na superfície de nível x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Seja γ t 0 = x 0 , y 0 , z 0 . Prove que γ ' t 0 ⋅ ∇ f x 0 , y 0 , z 0 = 0 . Interprete geometricamente.

Enunciado

A curva é definida dentro da superfície de nível que é a esfera unitária.

Como a curva está contida na esfera, é sempre tangente à esfera.

O gradiente de é definido como

Que são justamente os coeficientes do plano tangente a superfície de nível , ou seja, é sempre um vetor normal à superfície de nível.

Como é tangente à esfera e é normal, se pegarmos um ponto , tal que , podemos afirmar que

Vamos utilizar um exemplo, a circunferência unitária é uma curva pertencente a esfera e pode ser parametrizada como .

Derivando

E o gradiente de

E o gradiente é dado por

No ponto temos , mas sabemos que , então

Na derivada , quando

E o gradiente no ponto

Calculando então o produto escalar

E de fato os vetores são perpendiculares.

Usando nosso exemplo para a representação geométrica, no ponto , a derivada e o gradiente :