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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 7

A função diferenciável z = z ( x , y ) é dada implicitamente pela equação f x y , z x λ = 0 ( λ ≠ 0 um real fixo), onde f ( u , v ) é suposta diferenciável e ∂ f ∂ v u , v ≠ 0 . Verifique que

x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = λ z

Passo 1

O problema fornece uma função z = z x , y dada implicitamente pela equação f x y , z x λ = 0 e pede para mostramos a relação

x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = 0

Para isso, vamos partir da equação

f x y , z x λ = 0

e tomar as derivadas com relação a x e y usando u = x / y e v = z x - λ .

Passo 2

Derivando a equação com relação a x :

∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ x = 0

Assim, temos que

1 y ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ z ∂ x x - λ - λ z x - λ - 1 = 0 ⇒ ∂ z ∂ x x - λ - λ z x - λ - 1 = - 1 y ⋅ ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v

Logo,

∂ z ∂ x = λ z x - x λ y ⋅ ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v

Analogamente, derivando com relação a y :

∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y = 0

Assim,

- x y 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ z ∂ y ⋅ x - λ = 0 ⇒ ∂ z ∂ y = x λ + 1 y 2 ⋅ ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v

Passo 3

Por fim, vamos calcular a expressão:

I = x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y

Substituindo as expressões achadas no último passo:

I = x λ z x - x λ y ⋅ ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v + y x λ + 1 y 2 ⋅ ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v = λ z - x λ + 1 y ⋅ ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v + x λ + 1 y ⋅ ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v = λ z  

Portanto, temos que

x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = λ z

Resposta

Demonstração.

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Supondo que as funções diferenciáveis y = y ( x ) e z = z ( x ) sejam definidas implicitamente pelo sistema x 2 + y 2 = z x + y = 4 Determinara) d y d x e d z d x .
Supondo que as funções diferenciáveis y = y ( x ) e z = z ( x ) sejam definidas implicitamente pelo sistema x 2 + y 2 = z x + y = 4 Determinara) d y d x e d z d x .
3. Expresse d z d t em termos das derivadas parciais, sendo z = f x , y e b) x = sen ⁡ 3 t e y = cos ⁡ 2 t
Expresse a implicitamente como uma função de A, b e B e calcule ∂a/∂A e ∂a/∂B
Encontre o valor de ∂z/∂x no ponto (1, 1, 1) se a equação xy + z³x – 2yz = 0 define z como uma função de duas variáveis independentes x e y e se a derivada parcial existe.