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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 17

Seja F (x) = int_0^x (sin (t))/(t^2 + 1) d t . Encontre:

(a) F ( 0 )

(b) F ' ( 0 )

(c) F ' ' ( 0 )

Passo 1

(a) Para achar F ( 0 ) , é só substituir x por 0 e calcular a integral:

F (0) = int_0^0 (sin (t))/(t^2 + 1) d t

Mas uma integral de 0 até 0 é nula, né? Porque a área de 0 até 0 não existe. Logo:

F (0) = 0

Passo 2

(b) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

(d)/(d x) (int_a^(g (x)) f (t) d t) = f (g (x)) g ' ( x )

Então:

F ' (x) = (d)/(d x) (int_0^x (sin (t))/(t^2 + 1) d t) = ((sin (x))/(x^2 + 1)) (x)^' = ((sin (x))/(x^2 + 1)) ( 1 )

:.

(d)/(d x) (int_0^x (sin (t))/(t^2 + 1) d t) = (sin (x))/(x^2 + 1)

Substituindo x por 0 :

F^' (0) = (sin (0))/(0^2 + 1) = (0)/(1) = 0

Passo 3

(c) Como já temos F ' ( x ) , só precisamos derivar ele mais uma vez:

F ' (x) = (sin (x))/(x^2 + 1)

Pela regra do quociente:

F^(' ') (x) = (cos (x) (x^2 + 1) - 2 x sin (x))/((x^2 + 1)^2)

Substituindo x por 0 :

F^(' ') (0) = (cos (0) (0^2 + 1) - 2 ( 0 ) sin (0))/((0^2 + 1)^2)

F^(' ') (0) = (1)/(1) = 1

Resposta

(a) 0

(b) 0

(c) 1

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