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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 32

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) ((n !)^n)/(n^(4 n))

Passo 1

Eita!!! Quantos n ’s juntos e misturados ali!

Calma, calma...Não priemos cânico.

Que tal começarmos reescrevendo a série da seguinte forma:

sum_(n = 1)^(oo) ((n !)^n)/(n^(4 n)) = sum_(n = 1)^(oo) ((n !)/(n^4))^n

Aqui já poderíamos aplicar o Teste da Divergência . Maaas, vamos recorrer ao Teste da Raiz (no final das contas, chegaremos à mesma conclusão mesmo).

Passo 2

Pelo Teste da Raiz, vamos calcular o seguinte limite:

underset(n -> oo)(lim) root(n)(|a_n|) = underset(n -> oo)(lim) root(n)(|((n !)/(n^4))^n|) = underset(n -> oo)(lim) ((n !)/(n^4))

Pronto...E é aí que está o pulo do gato! Como estamos fazendo n -> oo , temos que, para aquele n ! , uma “parcela infinita” de termos envolvendo n , ou seja:

n ! underset(n -> oo)(->) underset(i n f i n i t o s t e r m o s)(ubrace n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 1)

Agora vamos pegar essa parcela infinita e dividir por n^4 , ou, de forma semelhante, dividir as quatro primeiras parcelas por n :

(n !)/(n^4) underset(n -> oo)(->) underset(-: n^4)(ubrace (n)/(n) * ((n - 1))/(n) * ((n - 2))/(n) * ((n - 3))/(n)) * ( n - 4 ) * ... * 1

Teremos, então:

(n !)/(n^4) underset(n -> oo)(->) 1 * (1 - (1)/(n)) * (1 - (2)/(n)) * (1 - (3)/(n)) * underset(i n f i n i t o s t e r m o s e m n)(ubrace ( n - 4 ) * ... *) 1

Como ainda teremos infinitos termos em n sendo multiplicados, chegamos à conclusão de que:

underset(n -> oo)(lim) ((n !)/(n^4)) = underset(n -> oo)(lim) 1 * (1 - (1)/(n)) * (1 - (2)/(n)) * (1 - (3)/(n)) * underset(i n f i n i t o s t e r m o s e m n)(ubrace ( n - 4 ) * ... *) 1 = oo

Passo 3

Assim, pelo Teste da Raiz, como underset(n -> oo)(lim) root(n)(|a_n|) = oo , chegamos à conclusão de que a nossa série é divergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) ((n !)^n)/(n^(4 n)) é divergente

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.20- ∑ n = 2 ∞ - 1 n ( ln ⁡ n ) n
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.22- ∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n
Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então: ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.30. ∑ n = 0 ∞ arctan ⁡ n n
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n π 3 n !