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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 7

Seja f (x , y , z) = (1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) . Verifique que

(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) + (del^2 f)/(del z^2) = 0

Passo 1

O enunciado dos dá uma função f de três variáveis e nos pede para mostrar uma relação matemática.

A único que devemos fazer para resolver esta questão é determinar as derivadas 2ªs da f e substituir na equação dada, através de muito trabalho braçal e regra da cadeia. Então, vamos nessa!

Passo 2

É necessário que primeiramente calculemos as derivadas 2ªs da f . E não tem mistério! Só devemos ter muita calma na hora de obter as derivadas para não ir acumulando erros.

Primeiramente, as derivadas de primeira ordem da f são o mais fácil de obter (usando a regra da cadeia):

(del f)/(del x) = (del)/(del x) [(1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))] = - (1)/(2) (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) (del)/(del x) [x^2 + y^2 + z^2] = - (1)/(2) (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) 2 x

(del f)/(del y) = (del)/(del y) [(1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))] = - (1)/(2) (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) (del)/(del y) [x^2 + y^2 + z^2] = - (1)/(2) (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) 2 y

(del f)/(del z) = (del)/(del z) [(1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))] = - (1)/(2) (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) (del)/(del z) [x^2 + y^2 + z^2] = - (1)/(2) (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) 2 z

Arrumando um pouquinho, resulta no seguinte:

(del f)/(del x) = (- x)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))

(del f)/(del y) = (- y)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))

(del f)/(del z) = (- z)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))

Passo 3

Agora, com muito cuidado, vamos calcular as derivadas segundas que precisamos a partir dos valores que acabamos de obter (usando bastante regra da cadeia!):

(del^2 f)/(del x^2) = (del)/(del x) [(del f)/(del x)] = (del)/(del x) [(- x)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))] = - x (del)/(del x) [(1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))] + (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) (del)/(del x) [- x] = - x [(- (3)/(2))/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2)))] 2 x + (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) [- 1]

(del^2 f)/(del y^2) = (del)/(del y) [(del f)/(del y)] = (del)/(del y) [(- y)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))] = - y (del)/(del y) [(1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))] + (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) (del)/(del y) [- y] = - y [(- (3)/(2))/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2)))] 2 y + (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) [- 1]

(del^2 f)/(del z^2) = (del)/(del z) [(del f)/(del z)] = (del)/(del z) [(- z)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))] = - z (del)/(del z) [(1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))] + (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) (del)/(del z) [- z] = - z [(- (3)/(2))/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2)))] 2 z + (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) [- 1]

Arrumando a casa um pouquinho, obtemos as derivadas segundas:

(del^2 f)/(del x^2) = (3 x^2)/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2))) + (- 1 (x^2 + y^2 + z^2))/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2))) = (2 x^2 - y^2 - z^2)/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2)))

(del^2 f)/(del y^2) = (2 y^2 - x^2 - z^2)/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2)))

(del^2 f)/(del z^2) = (2 z^2 - x^2 - y^2)/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2)))

Passo 4

Agora que o trabalho braçal ficou pra trás (ufff!) é tranquilo e favorável: vamos substituir o que obtivemos no lado esquerdo da equação dada e ver se bate com o lado direito.

Assim, temos

(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) + (del^2 f)/(del z^2) = (2 x^2 - y^2 - z^2)/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2))) + (2 y^2 - x^2 - z^2)/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2))) + (2 z^2 - x^2 - y^2)/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2)))

Dai,

(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) + (del^2 f)/(del z^2) = (2 x^2 - 2 y^2 - 2 z^2 + 2 y^2 - 2 x^2 + 2 z^2)/((x^2 + y^2 + z^2)^((5)/(2)))

Note que os termos no numerador cancelam entre si, ou seja

(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) + (del^2 f)/(del z^2) = 0

Que é o que queríamos provar!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Verifique que (del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) = 0 , onde f (x , y) = ln (x^2 + y^2) .
Seja f : A ∈ R 3 → R , A aberto de classe C 2 Justifique as igualdades:a) ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x b) ∂ 2 f ∂ x ∂ z = ∂ 2 f ∂ z ∂ x c) ∂ 2 f ∂ y ∂ z = ∂ 2 f ∂ z ∂ y
Sejam f , g : A ∈ R 2 → R , A aberto, duas funções de classe C 2 e tais que ∂ f ∂ x = ∂ g ∂ y e ∂ f ∂ y = - ∂ g ∂ x Prove que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 e ∂ 2 g ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ y 2 = 0 .
Verifique que x (del^2 z)/(del x del y) + y (del^2 z)/(del y^2) = 0 , onde z = (x + y) e^((x)/(y)) .
Seja f x , y = 1 x 2 + y 2 . Verifique que a) x ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + y ∂ 2 f ∂ y ∂ x x , y = - 3 ∂ f ∂ x x , y b) ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + ∂ 2 f ∂ y 2 x , y = 4 x 2 + y 2 2