Seja f(x, y, z) = 1 / raiz(x^2 + y^2 + z^2) . Verifique que

(∂^2f/∂x^2) + (∂^2f/∂y^2) + (∂^2f/∂z^2) = 0

Passo 1

O enunciado dos dá uma função f de três variáveis e nos pede para mostrar uma relação matemática.

A único que devemos fazer para resolver esta questão é determinar as derivadas 2ªs da f e substituir na equação dada, através de muito trabalho braçal e regra da cadeia. Então, vamos nessa!

Passo 2

É necessário que primeiramente calculemos as derivadas 2ªs da f . E não tem mistério! Só devemos ter muita calma na hora de obter as derivadas para não ir acumulando erros.

Primeiramente, as derivadas de primeira ordem da f são o mais fácil de obter (usando a regra da cadeia):

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 1 x 2 + y 2 + z 2 = - 1 2 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 = - 1 2 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 2 x

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 1 x 2 + y 2 + z 2 = - 1 2 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2 = - 1 2 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 2 y

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z 1 x 2 + y 2 + z 2 = - 1 2 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2 = - 1 2 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 2 z

Arrumando um pouquinho, resulta no seguinte:

∂ f ∂ x = - x x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ f ∂ y = - y x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ f ∂ z = - z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Passo 3

Agora, com muito cuidado, vamos calcular as derivadas segundas que precisamos a partir dos valores que acabamos de obter (usando bastante regra da cadeia!):

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x - x x 2 + y 2 + z 2 3 2 = - x ∂ ∂ x 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 + 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ ∂ x - x = - x - 3 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 2 x + 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 1

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y - y x 2 + y 2 + z 2 3 2 = - y ∂ ∂ y 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 + 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ ∂ y - y = - y - 3 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 2 y + 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 1

∂ 2 f ∂ z 2 = ∂ ∂ z ∂ f ∂ z = ∂ ∂ z - z x 2 + y 2 + z 2 3 2 = - z ∂ ∂ z 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 + 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 ∂ ∂ z - z = - z - 3 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 2 z + 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 1

Arrumando a casa um pouquinho, obtemos as derivadas segundas:

∂ 2 f ∂ x 2 = 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 + - 1 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 = 2 x 2 - y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ 2 f ∂ y 2 = 2 y 2 - x 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ 2 f ∂ z 2 = 2 z 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

Passo 4

Agora que o trabalho braçal ficou pra trás (ufff!) é tranquilo e favorável: vamos substituir o que obtivemos no lado esquerdo da equação dada e ver se bate com o lado direito.

Assim, temos

  ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 2 x 2 - y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 + 2 y 2 - x 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 + 2 z 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

Dai,

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 2 x 2 - 2 y 2 - 2 z 2 + 2 y 2 - 2 x 2 + 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

Note que os termos no numerador cancelam entre si, ou seja

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0

Que é o que queríamos provar!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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