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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 3

Verifique que (del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) = 0 , onde f (x , y) = ln (x^2 + y^2) .

Passo 1

O enunciado dos dá uma função f de daus variáveis e nos pede para mostrar uma relação matemática a partir da f .

A único que devemos fazer para resolver esta questão é determinar as derivadas 2ªs da f e substituir na equação dada, então, vamos nessa!

Passo 2

É necessário que primeiramente calculemos as derivadas 2ªs da f . E não tem mistério! Só devemos ter muita calma na hora de obter as derivadas para não ir acumulando erros.

Primeiramente, as derivadas de primeira ordem dessa função são o mais fácil de obter:

(del f)/(del x) = (del)/(del x) [ln (x^2 + y^2)] = (1)/((x^2 + y^2)) 2 x

(del f)/(del y) = (del)/(del y) [ln (x^2 + y^2)] = (1)/((x^2 + y^2)) 2 y

Passo 3

Agora, com muito cuidado, vamos calcular as derivadas segundas a partir dos valores que acabamos de obter (usando a regra da cadeia!):

(del^2 f)/(del x^2) = (del)/(del x) [(del f)/(del x)] = (del)/(del x) [(1)/((x^2 + y^2)) 2 x] = 2 x (del)/(del x) [(1)/((x^2 + y^2))] + (1)/((x^2 + y^2)) (del)/(del x) [2 x] = 2 x (- 1)/((x^2 + y^2)^2) 2 x + (1)/((x^2 + y^2)) 2

(del^2 f)/(del x del y) = (del)/(del x) [(del f)/(del y)] = (del)/(del x) [(1)/((x^2 + y^2)) 2 y] = (- 1)/((x^2 + y^2)^2) 2 x 2 y

(del^2 f)/(del y del x) = (del)/(del y) [(del f)/(del x)] = (del)/(del y) [(1)/((x^2 + y^2)) 2 x] = (- 1)/((x^2 + y^2)^2) 2 y 2 x

(del^2 f)/(del y^2) = (del)/(del y) [(del f)/(del y)] = (del)/(del y) [(1)/((x^2 + y^2)) 2 y] = 2 y (del)/(del y) [(1)/((x^2 + y^2))] + (1)/((x^2 + y^2)) (del)/(del y) [2 y] = 2 y (- 1)/((x^2 + y^2)^2) 2 y + (1)/((x^2 + y^2)) 2

Arrumando a casa um pouquinho, obtemos as derivadas segundas:

(del^2 f)/(del x^2) = (- 4 x^2)/((x^2 + y^2)^2) + (2 (x^2 + y^2))/((x^2 + y^2)^2) = (2 y^2 - 2 x^2)/((x^2 + y^2)^2)

(del^2 f)/(del x del y) = (del^2 f)/(del y del x) = (- 1)/((x^2 + y^2)^2) 2 x 2 y

(del^2 f)/(del y^2) = (- 4 y^2)/((x^2 + y^2)^2) + (2 (x^2 + y^2))/((x^2 + y^2)^2) = (2 x^2 - 2 y^2)/((x^2 + y^2)^2)

Passo 4

Agora que o trabalho braçal ficou pra trás (ufff!) é tranquilo e favorável: vamos substituir o que obtivemos no lado esquerdo da equação dada e ver se bate com o lado direito.

Assim, temos

(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) = (2 y^2 - 2 x^2)/((x^2 + y^2)^2) + (2 x^2 - 2 y^2)/((x^2 + y^2)^2)

Note que os termos no numerador cancelam entre si, ou seja

(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) = 0

Que é o que queríamos provar!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule todas as derivadas parciais de 2ª ordem:a) f x , y = x 3 y 2 b) z = e x 2 - y 2 c) z = ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 d) g x , y = 4 x 3 y 4 + y 3
13. Seja z = f ( x , y ) de classe C 2 no aberto A e seja x 0 , y 0 ∈ A . Suponha que f x 0 , y 0 ≥ f ( x , y ) para todo x , y ∈A . Prove que ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 ≤ 0 e ∂ 2 f ∂ y x 0 , y 0 ≤ 0 .Inte
9. Seja u (x , t) = A s e n (a lambda t + phi) s e n lambda x , com A , a , lambda e phi constantes. Verifique que(del^2 u)/(del t^2) = a^2 (del^2 u)/(del x^2) .
11. Sejam x = x ( u , v ) e y = y u , v duas funções que admitem derivadas parciais num mesmo aberto A . Suponha que (1,1) ∈ e que x 1,10 . Suponha, ainda, que para todo ( u , v ) ∈ A x 3 + y 3 = u -
10. Seja u = f x - a t + g ( x + a t ) , onde f e g são duas funções quaiquer de uma variável real ederiváveis até a 2ª ordem. Verifique que ∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 .