Verifique que (∂²f / ∂x²) + (∂²f / ∂y²) = 0 , onde f(x, y) = ln(x^2 + y^2)

Passo 1

O enunciado dos dá uma função f de daus variáveis e nos pede para mostrar uma relação matemática a partir da f .

A único que devemos fazer para resolver esta questão é determinar as derivadas 2ªs da f e substituir na equação dada, então, vamos nessa!

Passo 2

É necessário que primeiramente calculemos as derivadas 2ªs da f . E não tem mistério! Só devemos ter muita calma na hora de obter as derivadas para não ir acumulando erros.

Primeiramente, as derivadas de primeira ordem dessa função são o mais fácil de obter:

(del f)/(del x) = (del)/(del x) [ln (x^2 + y^2)] = (1)/((x^2 + y^2)) 2 x

(del f)/(del y) = (del)/(del y) [ln (x^2 + y^2)] = (1)/((x^2 + y^2)) 2 y

Passo 3

Agora, com muito cuidado, vamos calcular as derivadas segundas a partir dos valores que acabamos de obter (usando a regra da cadeia!):

(del^2 f)/(del x^2) = (del)/(del x) [(del f)/(del x)] = (del)/(del x) [(1)/((x^2 + y^2)) 2 x] = 2 x (del)/(del x) [(1)/((x^2 + y^2))] + (1)/((x^2 + y^2)) (del)/(del x) [2 x] = 2 x (- 1)/((x^2 + y^2)^2) 2 x + (1)/((x^2 + y^2)) 2

(del^2 f)/(del x del y) = (del)/(del x) [(del f)/(del y)] = (del)/(del x) [(1)/((x^2 + y^2)) 2 y] = (- 1)/((x^2 + y^2)^2) 2 x 2 y

(del^2 f)/(del y del x) = (del)/(del y) [(del f)/(del x)] = (del)/(del y) [(1)/((x^2 + y^2)) 2 x] = (- 1)/((x^2 + y^2)^2) 2 y 2 x

(del^2 f)/(del y^2) = (del)/(del y) [(del f)/(del y)] = (del)/(del y) [(1)/((x^2 + y^2)) 2 y] = 2 y (del)/(del y) [(1)/((x^2 + y^2))] + (1)/((x^2 + y^2)) (del)/(del y) [2 y] = 2 y (- 1)/((x^2 + y^2)^2) 2 y + (1)/((x^2 + y^2)) 2

Arrumando a casa um pouquinho, obtemos as derivadas segundas:

(del^2 f)/(del x^2) = (- 4 x^2)/((x^2 + y^2)^2) + (2 (x^2 + y^2))/((x^2 + y^2)^2) = (2 y^2 - 2 x^2)/((x^2 + y^2)^2)

(del^2 f)/(del x del y) = (del^2 f)/(del y del x) = (- 1)/((x^2 + y^2)^2) 2 x 2 y

(del^2 f)/(del y^2) = (- 4 y^2)/((x^2 + y^2)^2) + (2 (x^2 + y^2))/((x^2 + y^2)^2) = (2 x^2 - 2 y^2)/((x^2 + y^2)^2)

Passo 4

Agora que o trabalho braçal ficou pra trás (ufff!) é tranquilo e favorável: vamos substituir o que obtivemos no lado esquerdo da equação dada e ver se bate com o lado direito.

Assim, temos

(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) = (2 y^2 - 2 x^2)/((x^2 + y^2)^2) + (2 x^2 - 2 y^2)/((x^2 + y^2)^2)

Note que os termos no numerador cancelam entre si, ou seja

(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) = 0

Que é o que queríamos provar!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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